Calcule a integral:
\int_{1}^{2} \frac{(3 x-1)^{2}}{x^{3}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{(3x-1)^{2}}{x^{3}}\,dx.
Informações dadas e importantes: o integrando é \dfrac{(3x-1)^{2}}{x^{3}} e os limites de integração são x=1 e x=2. Note que no intervalo [1,2] temos x>0, então não há problema em usar \ln|x| quando surgir \int x^{-1}dx.

Passo 2

Primeiro passo prático: expandir o quadrado do numerador para simplificar a expressão antes de integrar. Desenvolvendo (3x-1)^{2} temos:
(3x-1)^{2} = 9x^{2} - 6x + 1.

Passo 3

Agora dividimos cada termo por x^{3} para escrever o integrando como soma de potências de x. Assim,
\frac{(3x-1)^{2}}{x^{3}} = \frac{9x^{2}}{x^{3}} - \frac{6x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} = 9x^{-1} - 6x^{-2} + x^{-3}.
Isto facilita muito, porque podemos integrar termo a termo.

Passo 4

Regra usada para integrar: a integral é linear, então
\int (9x^{-1} - 6x^{-2} + x^{-3})\,dx = 9\int x^{-1}\,dx - 6\int x^{-2}\,dx + \int x^{-3}\,dx.
Além disso usamos a regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
e para n=-1
\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C.
Vou aplicar isso termo a termo e explicar cada um.

Passo 5

Calcular as integrais term a term:
  • Para 9\int x^{-1}\,dx: como n=-1, \int x^{-1}dx = \ln|x|. Logo
9\int x^{-1}\,dx = 9\ln|x|.
  • Para -6\int x^{-2}\,dx: aqui n=-2, então
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.
Multiplicando por -6 -6\cdot(-x^{-1}) = 6x^{-1}.
  • Para \int x^{-3}\,dx: aqui n=-3, então
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\tfrac{1}{2}x^{-2}.
Somando tudo, uma primitiva F(x) é
F(x) = 9\ln|x| + 6x^{-1} - \tfrac{1}{2}x^{-2} + C.

Passo 6

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é F(2)-F(1). Como x está em [1,2], podemos remover o valor absoluto em \ln|x| e escrever \ln x. Então:
F(2) = 9\ln 2 + 6\cdot\frac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^{2}} = 9\ln 2 + 3 - \tfrac{1}{8}.
F(1) = 9\ln 1 + 6\cdot 1 - \tfrac{1}{2}\cdot 1 = 0 + 6 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{11}{2}.

Passo 7

Subtraindo F(2)-F(1):
\left(9\ln 2 + 3 - \tfrac{1}{8}\right) - \tfrac{11}{2} = 9\ln 2 + \left(3 - \tfrac{1}{8} - \tfrac{11}{2}\right).
Calculo das frações: \tfrac{11}{2} = \tfrac{44}{8} e 3 = \tfrac{24}{8}. Então
3 - \tfrac{1}{8} - \tfrac{11}{2} = \tfrac{24}{8} - \tfrac{1}{8} - \tfrac{44}{8} = -\tfrac{21}{8}.
Portanto o resultado é
9\ln 2 - \tfrac{21}{8}.

Resposta

9\ln 2 - \dfrac{21}{8}

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