Calcule a integral:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral definida
Informações dadas e importantes: o integrando é
e os limites de integração são
e
. Note que no intervalo
temos
, então não há problema em usar
quando surgir
.
Passo 2
Primeiro passo prático: expandir o quadrado do numerador para simplificar a expressão antes de integrar. Desenvolvendo
temos:
Passo 3
Agora dividimos cada termo por
para escrever o integrando como soma de potências de
. Assim,
Isto facilita muito, porque podemos integrar termo a termo.
Passo 4
Regra usada para integrar: a integral é linear, então
Além disso usamos a regra da potência: para
,
e para
Vou aplicar isso termo a termo e explicar cada um.
Passo 5
Calcular as integrais term a term:
- Para
: como , . Logo
- Para
: aqui , então
Multiplicando por
dá
.
- Para
: aqui , então
Somando tudo, uma primitiva
é
Passo 6
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
. Como
está em
, podemos remover o valor absoluto em
e escrever
. Então:
Passo 7
Subtraindo
:
Calculo das frações:
e
. Então
Portanto o resultado é