Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: o integrando é
e os limites de integração são
e
. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Para integrar
precisamos lembrar uma identidade útil: uma potência de base positiva pode ser escrita como exponencial na base
. Escrevemos
Aqui
é o logaritmo natural de
. Essa escrita é útil porque sabemos integrar exponenciais da forma
. Vou explicar por que.
Passo 3
Fórmula básica que usaremos: para constante
temos
logo, invertendo, a primitiva é
onde
é a constante de integração. Essa fórmula vem diretamente da regra da cadeia na derivação.
Passo 4
Aplicando essa fórmula ao nosso caso com
, usando
, uma primitiva de
é
Reescrevendo em potência de base
, isso é
Passo 5
Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
Substituindo
obtemos
Passo 6
Calcule os potências:
e
. Então
Como curiosidade numérica,
, então
, mas a forma exata é
.