Calcule a integral:
\int_{0}^{2} 2^{t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} 2^{t}\,dt.
Informações dadas: o integrando é 2^{t} e os limites de integração são t=0 e t=2. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Para integrar 2^{t} precisamos lembrar uma identidade útil: uma potência de base positiva pode ser escrita como exponencial na base e. Escrevemos
2^{t} = e^{t\ln 2}.
Aqui \ln 2 é o logaritmo natural de 2. Essa escrita é útil porque sabemos integrar exponenciais da forma e^{k t}. Vou explicar por que.

Passo 3

Fórmula básica que usaremos: para constante k temos
\frac{d}{dt}\big(e^{k t}\big) = k e^{k t},
logo, invertendo, a primitiva é
\int e^{k t}\,dt = \frac{1}{k} e^{k t} + C,
onde C é a constante de integração. Essa fórmula vem diretamente da regra da cadeia na derivação.

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao nosso caso com k=\ln 2, usando 2^{t}=e^{t\ln 2}, uma primitiva de 2^{t} é
F(t)=\frac{1}{\ln 2}\,e^{t\ln 2}.
Reescrevendo em potência de base 2, isso é
F(t)=\frac{2^{t}}{\ln 2}.

Passo 5

Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
\int_{0}^{2} 2^{t}\,dt = F(2)-F(0).
Substituindo F(t)=\dfrac{2^{t}}{\ln 2} obtemos
\int_{0}^{2} 2^{t}\,dt = \frac{2^{2}}{\ln 2} - \frac{2^{0}}{\ln 2} = \frac{2^{2}-2^{0}}{\ln 2}.

Passo 6

Calcule os potências: 2^{2}=4 e 2^{0}=1. Então
\int_{0}^{2} 2^{t}\,dt = \frac{4-1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2}.
Como curiosidade numérica, \ln 2 \approx 0,6931, então \dfrac{3}{\ln 2}\approx 4,328, mas a forma exata é \dfrac{3}{\ln 2}.

Resposta

\dfrac{3}{\ln 2}

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