Identidades Confirme as identidades a seguir para x>0.
\operatorname{arcsec} x+\operatorname{arc} \operatorname{cosec} x=\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede para confirmar a identidade
\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccosec} x = \frac{\pi}{2}
para x>0. O conteúdo envolve funções trigonométricas inversas e a relação de ângulos complementares.

Passo 2

Defina \alpha = \operatorname{arcsec} x. Então
\operatorname{sec}\alpha = x,
e, para x>1, \alpha\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr). Daí
\cos\alpha = \frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr).
De modo análogo, seja \beta = \operatorname{arccosec} x. Então
\csc\beta = x,
e, para x>1, \beta\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr]. Logo
\sin\beta = \frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad \beta = \arcsin\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr).

Passo 3

Somando \alpha e \beta obtém-se
\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccosec} x = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr) + \arcsin\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr).
Mas sabemos que, para todo t\in[-1,1],
\arcsin t + \operatorname{arccos} t = \frac{\pi}{2}.
Bastando tomar t=\tfrac{1}{x}, concluímos
\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccosec} x = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccosec} x = \dfrac{\pi}{2}.

Exercícios relacionados