A integral indefinida \int\left(2^{x}+5 e^{2 x}\right) d x é igual a

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\bigl(2^{x}+5e^{2x}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções exponenciais. Vamos usar as fórmulas genéricas
\displaystyle \int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a}
e
\displaystyle \int e^{k x}\,dx = \frac{e^{k x}}{k}.

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos em duas partes:
\int\bigl(2^{x}+5e^{2x}\bigr)\,dx = \int 2^{x}\,dx \;+\; 5\int e^{2x}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int 2^{x}\,dx, usamos \displaystyle \int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a} com a=2. Logo,
\int 2^{x}\,dx = \frac{2^{x}}{\ln 2}.

Passo 4

Para 5\displaystyle \int e^{2x}\,dx, fatoramos o 5 e aplicamos \displaystyle \int e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{2}. Assim,
5\int e^{2x}\,dx = 5\cdot\frac{e^{2x}}{2} = \frac{5}{2}\,e^{2x}.

Passo 5

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(2^{x}+5e^{2x}\bigr)\,dx = \frac{2^{x}}{\ln 2} \;+\; \frac{5}{2}\,e^{2x} \;+\; C.

Resposta

\frac{2^{x}}{\ln 2} + \frac{5}{2}\,e^{2x} + C.

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