Considere a função:
f(x)= \begin{cases}x^{2}+1, & x \leq 1 \\\\ 2 x, & x>1\end{cases}
a) Mostre que f é derivável no ponto x=1. (1.0 ponto)
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=1. (1.0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}+1, & x\leq1,\\\\ 2x, & x>1, \end{cases}
e pede (a) mostrar que f é derivável em x=1 e (b) obter a reta tangente em x=1. Vamos usar a definição de derivabilidade via derivadas laterais e depois a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Primeiro verificamos a continuidade em x=1, pois a derivabilidade exige continuidade.
\lim_{x\to1^-}f(x)=1^2+1=2, \quad \lim_{x\to1^+}f(x)=2\cdot1=2, \quad f(1)=1^2+1=2.
Como os três valores coincidem em 2, f é contínua em x=1.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas laterais em x=1.
Para x<1, f(x)=x^2+1 e
f'(x)=2x \quad\Longrightarrow\quad f'(1^-)=2\cdot1=2.
Para x>1, f(x)=2x e
f'(x)=2 \quad\Longrightarrow\quad f'(1^+)=2.
Como f'(1^-)=f'(1^+)=2, f é derivável em x=1 e
f'(1)=2.

Passo 4

A reta tangente ao gráfico de f em x=1 passa pelo ponto \bigl(1,f(1)\bigr)=(1,2) e tem coeficiente angular m=f'(1)=2. Logo a equação é
y-2=2\,(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y=2x.

Resposta

(a) f é derivável em x=1 porque as derivadas laterais coincidem em 2.
(b) A reta tangente em x=1 é y=2x.

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