Calcule a integral.
\int \frac{d x}{x^{3}+x^{2}+x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{3}+x^{2}+x+1}.
O conteúdo principal aqui é integração de frações racionais, e vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Observamos que dá para agrupar termos no denominador:
x^{3}+x^{2}+x+1 = x^{2}(x+1)+(x+1) = (x^{2}+1)(x+1).
Logo,
\frac{1}{x^{3}+x^{2}+x+1} = \frac{1}{(x+1)(x^{2}+1)}.

Passo 3

Vamos escrever em frações parciais:
\frac{1}{(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}+1), obtemos
1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x+1).

Passo 4

Expandindo o lado direito:
A x^{2} + A + Bx^{2} + (B+C)x + C = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C).
Comparando coeficientes com 1 = 0\cdot x^{2}+0\cdot x+1\), temos o sistema \[\begin{cases} A + B = 0,\\\ B + C = 0,\\\ A + C = 1. \end{cases}
Da primeira B=-A\], da segunda \(C=-B=A. Substituindo na terceira:
A + A = 1 \implies A=\tfrac12,\quad B=-\tfrac12,\quad C=\tfrac12.

Passo 5

Substituindo em frações parciais,
\frac{1}{(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{1/2}{x+1} + \frac{-\tfrac12\,x + \tfrac12}{x^{2}+1}.
Logo a integral fica
\int \frac{dx}{x^{3}+x^{2}+x+1} = \frac12\int\frac{dx}{x+1} - \frac12\int\frac{x\,dx}{x^{2}+1} + \frac12\int\frac{dx}{x^{2}+1}.
Agora integramos cada parte:
\int\frac{dx}{x+1} = \ln|x+1|,\quad \int\frac{x\,dx}{x^{2}+1} = \frac12\ln\bigl(x^{2}+1\bigr),\quad \int\frac{dx}{x^{2}+1} = \arctan x.
Portanto
\int \frac{dx}{x^{3}+x^{2}+x+1} = \frac12\ln|x+1| - \frac12\cdot\frac12\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \frac12\arctan x + C.
Simplificando coeficientes:
=\frac12\ln|x+1| - \frac14\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \frac12\arctan x + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{dx}{x^{3}+x^{2}+x+1} = \frac12\ln\bigl|x+1\bigr| - \frac14\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) + \frac12\arctan(x) + C. }

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