Calcule a integral.
\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2}+12 x-5}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{1}{\sqrt{9x^{2}+12x-5}}\,dx.
O conteúdo aqui é integrar uma função do tipo \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}. Vamos completar o quadrado no polinômio do denominador e depois usar a integral padrão
\displaystyle\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}=\ln\bigl|u+\sqrt{u^{2}-a^{2}}\bigr|+C.

Passo 2

Complete o quadrado em 9x^{2}+12x-5:
9x^{2}+12x-5 =9\Bigl(x^{2}+\tfrac{4}{3}x\Bigr)-5 =9\Bigl[\Bigl(x+\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}-\tfrac{4}{9}\Bigr]-5 =9\Bigl(x+\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}-4-5 =9\Bigl(x+\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}-9 =9\Bigl[\bigl(x+\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}-1\Bigr].

Passo 3

Faça a substituição
u=x+\tfrac{2}{3},\quad du=dx.
Então
\int \frac{dx}{\sqrt{9\bigl(x+\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}-9}} =\int \frac{du}{3\sqrt{u^{2}-1}} =\frac{1}{3}\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}}.

Passo 4

Sabendo que
\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}} =\ln\bigl|u+\sqrt{u^{2}-1}\bigr|+C,
obtemos
\frac{1}{3}\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}} =\frac{1}{3}\ln\bigl|u+\sqrt{u^{2}-1}\bigr|+C.

Passo 5

Voltando a x com u=x+\tfrac{2}{3}, chega-se a
\int \frac{1}{\sqrt{9x^{2}+12x-5}}\,dx =\frac{1}{3}\ln\Bigl|\,x+\tfrac{2}{3}+\sqrt{\bigl(x+\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}-1}\Bigr|+C.
Absorvendo constantes no C, uma forma simplificada é
\frac{1}{3}\ln\bigl|3x+2+\sqrt{9x^{2}+12x-5}\bigr|+C.

Resposta

\int \frac{1}{\sqrt{9x^{2}+12x-5}}\,dx =\frac{1}{3}\ln\bigl|3x+2+\sqrt{9x^{2}+12x-5}\bigr|+C.

Exercícios relacionados