a) Use o teorema da função implícita para demonstrar que a equação
define uma função implícita
em torno do ponto
.
b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
– (a) usar o Teorema da Função Implícita para mostrar que a equação
– (a) usar o Teorema da Função Implícita para mostrar que a equação
define, em torno de
, uma função
.
– (b) determinar o plano tangente ao gráfico de em
.
– (b) determinar o plano tangente ao gráfico de
Para aplicar o Teorema da Função Implícita, definimos
e precisamos verificar que
.
Passo 2
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Em
isso vale
Logo, pelo Teorema da Função Implícita existe vizinhança de
onde
define
.
Passo 3
Para obter o plano tangente, usamos
avaliados em
. Calculamos
de modo que em
Portanto
Passo 4
A equação do plano tangente ao gráfico de
em
é
ou seja
Multiplicando tudo por
e rearranjando, obtém-se
Resposta
a) Pelo Teorema da Função Implícita, como
, existe
perto de
.
b) Plano tangente:
b) Plano tangente:
ou equivalentemente