a) Use o teorema da função implícita para demonstrar que a equação
x^{3}+3 y^{2}+8 x z^{2}-3 z^{3} y=9
define uma função implícita z=f(x, y) em torno do ponto P=(1,0,1).
b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P=(1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
– (a) usar o Teorema da Função Implícita para mostrar que a equação
x^{3}+3y^{2}+8x z^{2}-3z^{3}y=9
define, em torno de P=(1,0,1), uma função z=f(x,y).
– (b) determinar o plano tangente ao gráfico de f em P.
Para aplicar o Teorema da Função Implícita, definimos
F(x,y,z)=x^{3}+3y^{2}+8x z^{2}-3z^{3}y-9
e precisamos verificar que \displaystyle\frac{\partial F}{\partial z}(1,0,1)\neq0.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de F em relação a z:
\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z) =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{3}+3y^{2}+8x z^{2}-3z^{3}y-9\bigr) =16x z-9z^{2}y.
Em P=(1,0,1) isso vale
\frac{\partial F}{\partial z}(1,0,1)=16\cdot1\cdot1-9\cdot1^{2}\cdot0=16\neq0.
Logo, pelo Teorema da Função Implícita existe vizinhança de P onde F(x,y,z)=0 define z=f(x,y).

Passo 3

Para obter o plano tangente, usamos
f_x=-\frac{F_x}{F_z}, \qquad f_y=-\frac{F_y}{F_z},
avaliados em P. Calculamos
F_x=3x^{2}+8z^{2},\quad F_y=6y-3z^{3},
de modo que em P
F_x(1,0,1)=3\cdot1^{2}+8\cdot1^{2}=11, \qquad F_y(1,0,1)=6\cdot0-3\cdot1^{3}=-3, \qquad F_z(1,0,1)=16.
Portanto
f_x(1,0)=-\frac{11}{16}, \qquad f_y(1,0)=\frac{3}{16}.

Passo 4

A equação do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) em P é
z-1=f_x(1,0)\,(x-1)+f_y(1,0)\,(y-0),
ou seja
z-1=-\frac{11}{16}(x-1)+\frac{3}{16}y.
Multiplicando tudo por 16 e rearranjando, obtém-se
11x+16z-3y-27=0.

Resposta

a) Pelo Teorema da Função Implícita, como \displaystyle F_z(1,0,1)=16\neq0, existe z=f(x,y) perto de (1,0).
b) Plano tangente:
z-1=-\frac{11}{16}(x-1)+\frac{3}{16}y
ou equivalentemente
11x+16z-3y-27=0.

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