Usando o multiplicador de Lagrange, calcule a distância do ponto
à reta
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a distância do ponto
até a reta dada por
, usando o método dos multiplicadores de Lagrange. O que vamos precisar é:
- Uma função a minimizar: a distância ao quadrado de um ponto genérico
até . - A restrição de que
esteja sobre a reta . - Aplicar as condições de Lagrange para achar o ponto sobre a reta mais próximo de
.
Passo 2
Definimos a função distância ao quadrado
e a restrição
O multiplicador
satisfaz
Calculamos os gradientes:
Passo 3
As condições de Lagrange são
Da primeira equação vem
, isto é
Da segunda,
, logo
Passo 4
Substituímos
e
na restrição:
Assim
Esse é o ponto da reta mais próximo de
.
Passo 5
A distância procurada é
Resposta
A distância do ponto
à reta
é
.