Usando o multiplicador de Lagrange, calcule a distância do ponto (1,1) à reta -x+y-1=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a distância do ponto (1,1) até a reta dada por -x+y-1=0, usando o método dos multiplicadores de Lagrange. O que vamos precisar é:
  1. Uma função a minimizar: a distância ao quadrado de um ponto genérico (x,y) até (1,1).
  2. A restrição de que (x,y) esteja sobre a reta -x+y-1=0.
  3. Aplicar as condições de Lagrange para achar o ponto sobre a reta mais próximo de (1,1).

Passo 2

Definimos a função distância ao quadrado
f(x,y) = (x-1)^2 + (y-1)^2
e a restrição
g(x,y) = -x + y - 1 = 0.
O multiplicador \lambda satisfaz
\nabla f(x,y) = \lambda \,\nabla g(x,y).
Calculamos os gradientes:
\nabla f = \bigl(2(x-1),\,2(y-1)\bigr), \quad \nabla g = (-1,\,1).

Passo 3

As condições de Lagrange são
2(x-1) = \lambda\cdot(-1), \quad 2(y-1) = \lambda\cdot(1), \quad -\,x + y - 1 = 0.
Da primeira equação vem x-1 = -\tfrac{\lambda}{2}, isto é
x = 1 - \frac{\lambda}{2}.
Da segunda, y-1 = \tfrac{\lambda}{2}, logo
y = 1 + \frac{\lambda}{2}.

Passo 4

Substituímos x e y na restrição:
-\Bigl(1 - \frac{\lambda}{2}\Bigr) + \Bigl(1 + \frac{\lambda}{2}\Bigr) -1 = 0 \;\Longrightarrow\; -\!1 + \frac{\lambda}{2} + 1 + \frac{\lambda}{2} -1 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = 1.
Assim
x = 1 - \tfrac12 = \tfrac12, \quad y = 1 + \tfrac12 = \tfrac32.
Esse é o ponto da reta mais próximo de (1,1).

Passo 5

A distância procurada é
d = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{\Bigl(\tfrac12 -1\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac32 -1\Bigr)^2} = \sqrt{\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac12\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac14 + \tfrac14} = \sqrt{\tfrac12} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

A distância do ponto (1,1) à reta -x+y-1=0 é \tfrac{1}{\sqrt{2}}.

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