Calcule a integral.
\int \sqrt[3]{x}(1-\sqrt{x}) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sqrt[3]{x}\,\bigl(1-\sqrt{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de potências de x e usaremos a regra do power rule:
\int x^{a}\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1}+C,\quad a\neq -1.

Passo 2

Vamos reescrever o integrando em potências de x. Temos
\sqrt[3]{x}=x^{1/3} e \sqrt{x}=x^{1/2},
então
\sqrt[3]{x}\,\bigl(1-\sqrt{x}\bigr) = x^{1/3} - x^{1/3}\cdot x^{1/2} = x^{1/3} - x^{\,1/3+1/2} = x^{1/3} - x^{5/6}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando a regra do power rule. Para o primeiro termo, a=1/3:
\int x^{1/3}\,dx = \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}\,x^{4/3}.
Para o segundo termo, a=5/6:
\int x^{5/6}\,dx = \frac{x^{5/6+1}}{5/6+1} = \frac{x^{11/6}}{11/6} = \frac{6}{11}\,x^{11/6}.

Passo 4

Juntando os dois resultados e colocando a constante de integração C, obtemos
\int \bigl(x^{1/3}-x^{5/6}\bigr)\,dx = \frac{3}{4}\,x^{4/3} \;-\;\frac{6}{11}\,x^{11/6} \;+\;C.

Resposta

\boxed{\frac{3}{4}\,x^{4/3} \;-\;\frac{6}{11}\,x^{11/6} + C.}

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