Calcule a integral.
\int e^{3 x} \cos 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int e^{3x}\cos 5x\,dx.
O conteúdo é integração de um produto de exponencial e função trigonométrica. Vamos usar duas vezes o método de integração por partes.

Passo 2

Defina
I = \int e^{3x}\cos 5x\,dx.
Aplique integração por partes com
\,u=e^{3x}, \,dv=\cos 5x\,dx.
Então
\,du=3e^{3x}dx e
\,v=\tfrac{1}{5}\sin 5x.
Isso dá
I = u\,v - \int v\,du = \frac{1}{5}e^{3x}\sin 5x \;-\;\frac{3}{5}\int e^{3x}\sin 5x\,dx.
Denote
\displaystyle J = \int e^{3x}\sin 5x\,dx.
Logo
I = \frac{1}{5}e^{3x}\sin 5x - \frac{3}{5}J.

Passo 3

Agora calcule
\displaystyle J = \int e^{3x}\sin 5x\,dx
também por partes, tomando
\,u=e^{3x}, \,dv=\sin 5x\,dx.
Então
\,du=3e^{3x}dx e
\,v=-\tfrac{1}{5}\cos 5x.
Obtemos
J = u\,v - \int v\,du = -\frac{1}{5}e^{3x}\cos 5x + \frac{3}{5}\int e^{3x}\cos 5x\,dx = -\frac{1}{5}e^{3x}\cos 5x + \frac{3}{5}I.

Passo 4

Substitua a expressão de J na fórmula de I:
I = \frac{1}{5}e^{3x}\sin 5x - \frac{3}{5}\Bigl(-\frac{1}{5}e^{3x}\cos 5x + \frac{3}{5}I\Bigr).
Isso simplifica-se a
I = \frac{1}{5}e^{3x}\sin 5x + \frac{3}{25}e^{3x}\cos 5x - \frac{9}{25}I.
Reagrupando termos em I:
\frac{34}{25}I = \frac{e^{3x}(5\sin 5x + 3\cos 5x)}{25} \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{e^{3x}(5\sin 5x + 3\cos 5x)}{34}.

Resposta

\boxed{\int e^{3x}\cos 5x\,dx = \frac{e^{3x}\bigl(3\cos 5x + 5\sin 5x\bigr)}{34} + C.}

Exercícios relacionados