Calcule a integral.
\int \frac{x}{(x+2)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{(x+2)^{2}}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional, e vamos usar decomposição em frações simples junto com as antiderivadas conhecidas de \frac1{x+2} e (x+2)^{-2}.

Passo 2

Escrevemos o numerador como
x=(x+2)-2
para ter
\frac{x}{(x+2)^{2}} =\frac{(x+2)-2}{(x+2)^{2}} =\frac{1}{x+2}-\frac{2}{(x+2)^{2}}.

Passo 3

Com isso, a integral se separa em
\int \frac{x}{(x+2)^{2}}\,dx =\int \frac{1}{x+2}\,dx -2\int \frac{1}{(x+2)^{2}}\,dx.

Passo 4

Calculamos cada parte:
\int \frac{1}{x+2}\,dx = \ln\lvert x+2\rvert,
\int (x+2)^{-2}\,dx =\frac{(x+2)^{-1}}{-1} =-\frac{1}{x+2}.
Logo,
-2\int \frac{1}{(x+2)^{2}}\,dx =-2\Bigl(-\frac{1}{x+2}\Bigr) =\frac{2}{x+2}.

Passo 5

Somando as parcelas, obtemos
\int \frac{x}{(x+2)^{2}}\,dx =\ln\lvert x+2\rvert +\frac{2}{x+2} +C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\ln\lvert x+2\rvert +\frac{2}{x+2} +C.

Exercícios relacionados