Calcule a integral.
\int \operatorname{sen}^{2} \pi x \cos ^{4} \pi x d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int \sin^2(\pi x)\,\cos^4(\pi x)\,dx.
Aqui usamos integração de potências de seno e cosseno. Vamos empregar a identidade \sin^2=1-\cos^2 e, em seguida, as fórmulas de redução de potência.

Passo 2

Primeiro note que
\sin^2(\pi x)\,\cos^4(\pi x) =(1-\cos^2(\pi x))\cos^4(\pi x) =\cos^4(\pi x)-\cos^6(\pi x).
Fazendo a mudança de variável \theta=\pi x, temos d\theta=\pi\,dx ou dx=\tfrac{d\theta}{\pi}. Logo
\int \sin^2(\pi x)\cos^4(\pi x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int\bigl(\cos^4\theta-\cos^6\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 3

Usamos as fórmulas de redução de potência:
\cos^4\theta=\frac{3+4\cos(2\theta)+\cos(4\theta)}{8}, \qquad \cos^6\theta=\frac{10+15\cos(2\theta)+6\cos(4\theta)+\cos(6\theta)}{32}.
Subtraindo-as num denominador comum 32, obtemos
\cos^4\theta-\cos^6\theta =\frac{12+16\cos2\theta+4\cos4\theta}{32} -\frac{10+15\cos2\theta+6\cos4\theta+\cos6\theta}{32} =\frac{2+\cos2\theta-2\cos4\theta-\cos6\theta}{32}.
Então a integral vira
\frac{1}{\pi}\int\bigl(\cos^4\theta-\cos^6\theta\bigr)\,d\theta =\frac{1}{32\pi}\int\bigl(2+\cos2\theta-2\cos4\theta-\cos6\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int\bigl(2+\cos2\theta-2\cos4\theta-\cos6\theta\bigr)\,d\theta =2\theta+\tfrac12\sin2\theta-2\cdot\tfrac14\sin4\theta-\tfrac16\sin6\theta =2\theta+\tfrac12\sin2\theta-\tfrac12\sin4\theta-\tfrac16\sin6\theta.
Multiplicando por \tfrac{1}{32\pi}
\frac{1}{32\pi}\Bigl(2\theta+\tfrac12\sin2\theta-\tfrac12\sin4\theta-\tfrac16\sin6\theta\Bigr).

Passo 5

Voltando a x com \theta=\pi x, observe que
\frac{2\theta}{32\pi}=\frac{\pi x}{16\pi}=\frac{x}{16}, \quad \frac{\tfrac12\sin2\theta}{32\pi}=\frac{\sin(2\pi x)}{64\pi}, \quad \frac{-\tfrac12\sin4\theta}{32\pi}=-\frac{\sin(4\pi x)}{64\pi}, \quad \frac{-\tfrac16\sin6\theta}{32\pi}=-\frac{\sin(6\pi x)}{192\pi}.
Somando tudo e acrescentando a constante C, obtemos a primitiva completa.

Resposta

\int \sin^2(\pi x)\cos^4(\pi x)\,dx =\frac{x}{16} +\frac{\sin(2\pi x)}{64\pi} -\frac{\sin(4\pi x)}{64\pi} -\frac{\sin(6\pi x)}{192\pi} +C.

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