Calcule a integral.
\int \sqrt{1+x-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sqrt{1 + x - x^{2}}\;dx.
O conteúdo envolve integração de raiz de um polinômio quadrático. Para resolver, vamos (a) completar o quadrado em 1 + x - x^{2} e depois (b) usar substituição trigonométrica padrão para \sqrt{a^{2}-u^{2}}.

Passo 2

Completo o quadrado no polinômio dentro da raiz:
1 + x - x^{2} = -(x^{2} - x - 1) = -\Bigl[\bigl(x - \tfrac12\bigr)^{2} - \tfrac14 - 1\Bigr] = \tfrac54 - \bigl(x - \tfrac12\bigr)^{2}.
Logo
\sqrt{1 + x - x^{2}} = \sqrt{\tfrac54 - \bigl(x - \tfrac12\bigr)^{2}} = \frac{\sqrt5}{2}\;\sqrt{\,1 - \Bigl(\frac{x - \tfrac12}{\tfrac{\sqrt5}{2}}\Bigr)^{2}}.

Passo 3

Defino a substituição
t = \frac{x - \tfrac12}{\tfrac{\sqrt5}{2}} \quad\Longrightarrow\quad dt = \frac{2}{\sqrt5}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{\sqrt5}{2}\,dt.
Então
\sqrt{1 + x - x^{2}}\;dx = \frac{\sqrt5}{2}\,\sqrt{1 - t^{2}} \;\cdot\;\frac{\sqrt5}{2}\,dt = \frac{5}{4}\,\sqrt{1 - t^{2}}\;dt.
A integral fica
\int \sqrt{1 + x - x^{2}}\;dx = \frac{5}{4}\,\int \sqrt{1 - t^{2}}\;dt.

Passo 4

Usamos a fórmula conhecida
\int \sqrt{1 - t^{2}}\;dt = \frac12\Bigl(t\sqrt{1 - t^{2}} + \arcsin t\Bigr) + C.
Logo
\frac{5}{4}\,\int \sqrt{1 - t^{2}}\;dt = \frac{5}{4}\,\cdot\frac12\Bigl(t\sqrt{1 - t^{2}} + \arcsin t\Bigr) + C = \frac{5}{8}\Bigl(t\sqrt{1 - t^{2}} + \arcsin t\Bigr) + C.

Passo 5

Retorno à variável x. Lembrando
t = \frac{2x - 1}{\sqrt5}, \quad \sqrt{1 - t^{2}} = \frac{2}{\sqrt5}\,\sqrt{1 + x - x^{2}},
temos
t\sqrt{1 - t^{2}} = \frac{2x - 1}{\sqrt5}\;\frac{2}{\sqrt5}\,\sqrt{1 + x - x^{2}} = \frac{4x - 2}{5}\,\sqrt{1 + x - x^{2}}.
Substituindo em \tfrac{5}{8}(t\sqrt{1 - t^{2}} + \arcsin t):
\frac{5}{8}\,\frac{4x - 2}{5}\,\sqrt{1 + x - x^{2}} + \frac{5}{8}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt5}\Bigr) = \frac{4x - 2}{8}\,\sqrt{1 + x - x^{2}} + \frac{5}{8}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt5}\Bigr).
Simplificando \tfrac{4x-2}{8} = \tfrac{2x-1}{4}, chegamos à forma final.

Resposta

\int \sqrt{1 + x - x^{2}}\;dx = \frac{2x - 1}{4}\,\sqrt{1 + x - x^{2}} + \frac{5}{8}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt5}\Bigr) + C.

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