Calcule a integral. \int \sqrt{1+x-x^{2}} d x Passo 1O enunciado pede para calcular \int \sqrt{1 + x - x^{2}}\;dx. O conteúdo envolve integração de raiz de um polinômio quadrático. Para resolver, vamos (a) completar o quadrado em 1 + x - x^{2} e depois (b) usar substituição trigonométrica padrão para \sqrt{a^{2}-u^{2}}. Passo 2Completo o quadrado no polinômio dentro da raiz: 1 + x - x^{2} = -(x^{2} - x - 1) = -\Bigl[\bigl(x - \tfrac12\bigr)^{2} - \tfrac14 - 1\Bigr] = \tfrac54 - \bigl(x - \tfrac12\bigr)^{2}. Logo \sqrt{1 + x - x^{2}} = \sqrt{\tfrac54 - \bigl(x - \tfrac12\bigr)^{2}} = \frac{\sqrt5}{2}\;\sqrt{\,1 - \Bigl(\frac{x - \tfrac12}{\tfrac{\sqrt5}{2}}\Bigr)^{2}}. Passo 3Defino a substituição t = \frac{x - \tfrac12}{\tfrac{\sqrt5}{2}} \quad\Longrightarrow\quad dt = \frac{2}{\sqrt5}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{\sqrt5}{2}\,dt. Então \sqrt{1 + x - x^{2}}\;dx = \frac{\sqrt5}{2}\,\sqrt{1 - t^{2}} \;\cdot\;\frac{\sqrt5}{2}\,dt = \frac{5}{4}\,\sqrt{1 - t^{2}}\;dt. A integral fica \int \sqrt{1 + x - x^{2}}\;dx = \frac{5}{4}\,\int \sqrt{1 - t^{2}}\;dt. Passo 4Usamos a fórmula conhecida \int \sqrt{1 - t^{2}}\;dt = \frac12\Bigl(t\sqrt{1 - t^{2}} + \arcsin t\Bigr) + C. Logo \frac{5}{4}\,\int \sqrt{1 - t^{2}}\;dt = \frac{5}{4}\,\cdot\frac12\Bigl(t\sqrt{1 - t^{2}} + \arcsin t\Bigr) + C = \frac{5}{8}\Bigl(t\sqrt{1 - t^{2}} + \arcsin t\Bigr) + C. Passo 5Retorno à variável x. Lembrando t = \frac{2x - 1}{\sqrt5}, \quad \sqrt{1 - t^{2}} = \frac{2}{\sqrt5}\,\sqrt{1 + x - x^{2}}, temos t\sqrt{1 - t^{2}} = \frac{2x - 1}{\sqrt5}\;\frac{2}{\sqrt5}\,\sqrt{1 + x - x^{2}} = \frac{4x - 2}{5}\,\sqrt{1 + x - x^{2}}. Substituindo em \tfrac{5}{8}(t\sqrt{1 - t^{2}} + \arcsin t): \frac{5}{8}\,\frac{4x - 2}{5}\,\sqrt{1 + x - x^{2}} + \frac{5}{8}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt5}\Bigr) = \frac{4x - 2}{8}\,\sqrt{1 + x - x^{2}} + \frac{5}{8}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt5}\Bigr). Simplificando \tfrac{4x-2}{8} = \tfrac{2x-1}{4}, chegamos à forma final. Resposta \int \sqrt{1 + x - x^{2}}\;dx = \frac{2x - 1}{4}\,\sqrt{1 + x - x^{2}} + \frac{5}{8}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt5}\Bigr) + C. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule a integral. \int_{0}^{1} \sqrt{z}(z+\sqrt[3]{z}) d z Calcule a integral. \int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x} d x Calcule a integral. \int \frac{1}{x^{3}-8} d x Calcule a integral. \int \frac{\operatorname{sen} 2 x}{\sqrt{9-\cos ^{4} x}} d x