Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região.
; em torno de
,
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado ao rotacionar em torno de
a região limitada pelas curvas
e
O conteúdo é o método das cascas cilíndricas para eixos verticais, e vamos precisar de: pontos de interseção, saber qual função é “superior” na região e montar a integral de
.
Passo 2
Para achar onde as curvas se encontram, igualamos
Isso dá
Substituindo em
, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
No intervalo
, temos
Portanto a “altura” de cada casca é
.
Passo 4
Usando cascas cilíndricas para rotação em torno de
:
- raio
distância de até o eixo , ou seja . - altura
. - diferencial de espessura
.
Então a fórmula é
Passo 5
Expandindo o integrando:
Logo
Passo 6
Calculemos cada termo:
Somando,
Passo 7
Multiplicando por
, obtemos