Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região.
y=x^{2}, x=y^{2}; em torno de x=-1,

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado ao rotacionar em torno de x=-1 a região limitada pelas curvas
y = x^2
e
x = y^2.
O conteúdo é o método das cascas cilíndricas para eixos verticais, e vamos precisar de: pontos de interseção, saber qual função é “superior” na região e montar a integral de 2\pi\int (\text{raio})(\text{altura})\,dx.

Passo 2

Para achar onde as curvas se encontram, igualamos
y = x^2 \quad\text{e}\quad x = y^2 = (x^2)^2 = x^4.
Isso dá
x^4 - x = 0 \;\Longrightarrow\; x(x^3 - 1)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=1.
Substituindo em y=x^2, os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 3

No intervalo 0\le x\le1, temos
y_{\text{superior}} = \sqrt{x} \quad\text{(vindo de }x=y^2\text{)} \quad\text{e}\quad y_{\text{inferior}} = x^2.
Portanto a “altura” de cada casca é \sqrt{x}-x^2.

Passo 4

Usando cascas cilíndricas para rotação em torno de x=-1:
  • raio r = distância de x até o eixo x=-1, ou seja r = x - (-1) = x+1.
  • altura h = \sqrt{x}-x^2.
  • diferencial de espessura dx.
    Então a fórmula é
V = 2\pi \int_{x=0}^{1} (r)(h)\,dx = 2\pi \int_{0}^{1} (x+1)\bigl(\sqrt{x}-x^2\bigr)\,dx.

Passo 5

Expandindo o integrando:
(x+1)\bigl(x^{1/2}-x^2\bigr) = x^{3/2} + x^{1/2} - x^3 - x^2.
Logo
V = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(x^{3/2} + x^{1/2} - x^3 - x^2\bigr)\,dx.

Passo 6

Calculemos cada termo:
\int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx = \frac{2}{5},\quad \int_{0}^{1} x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3},\quad \int_{0}^{1} x^3\,dx = \frac{1}{4},\quad \int_{0}^{1} x^2\,dx = \frac{1}{3}.
Somando,
\int_{0}^{1}\bigl(x^{3/2}+x^{1/2}-x^3-x^2\bigr)\,dx = \frac{2}{5} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{29}{60}.

Passo 7

Multiplicando por 2\pi, obtemos
V = 2\pi \cdot \frac{29}{60} = \frac{29\pi}{30}.

Resposta

\frac{29\pi}{30}

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