Seja
uma função contínua tal que
. Mostre que a função definida por
possui pelo menos uma raiz para algum ponto no intervalo
. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá uma função contínua
com
e define
para
. Queremos mostrar que existe
tal que
. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI) aplicado a
.
Passo 2
Primeiro, note que
é contínua em
pois é diferença de composições e translações de
, que é contínua. Logo, podemos usar o TVI em
.
Passo 3
Calculemos
nos extremos do intervalo:
Como
, temos
Passo 4
Dessa relação segue que ou
, e então já achamos uma raiz em
, ou
e
Isto é,
assume sinais opostos em
e
.
Passo 5
Pelo Teorema do Valor Intermediário, se
é contínua e muda de sinal em dois pontos, existe
entre eles tal que
.
Resposta
Existe pelo menos um
com