Seja f:[a, b] R uma função contínua tal que f(a)=f(b). Mostre que a função definida por
g(t)=f(t+b-a2)-f(t)
possui pelo menos uma raiz para algum ponto no intervalo [a, a+b2]. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua f:[a,b]toR com f(a)=f(b) e define
g(t)=fl(t+b-a2r)-f(t),
para tinl[a,,(a+b)/2r]. Queremos mostrar que existe cinl[a,(a+b)/2r] tal que g(c)=0. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI) aplicado a g.

Passo 2

Primeiro, note que g é contínua em l[a,(a+b)/2r] pois é diferença de composições e translações de f, que é contínua. Logo, podemos usar o TVI em g.

Passo 3

Calculemos g nos extremos do intervalo:
g(a)=fl(a+b-a2r)-f(a),
gl(tfraca+b2r) =fl(tfraca+b2+tfracb-a2r)-fl(tfraca+b2r) =f(b)-fl(tfraca+b2r)
Como f(a)=f(b), temos
gl(tfraca+b2r) =f(a)-fl(tfraca+b2r) =-l[fl(a+tfracb-a2r)-f(a)r] =-,g(a)

Passo 4

Dessa relação segue que ou g(a)=0, e então já achamos uma raiz em t=a, ou g(a)neq0 e
g(a),cdot,gl(tfraca+b2r) =g(a),l[-g(a)r] =-,l[g(a)r]^2<0
Isto é, g assume sinais opostos em a e (a+b)/2.

Passo 5

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se g é contínua e muda de sinal em dois pontos, existe c entre eles tal que g(c)=0.

Resposta

Existe pelo menos um cinl[a,,(a+b)/2r] com
g(c)=0

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