Calcule a integral.
\int \frac{x}{x^{4}+2 x^{2}+10} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\displaystyle \int \frac{x}{x^{4}+2x^{2}+10}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções racionais em que reconhecemos uma soma de quadrados no denominador e aplicamos substituição.

Passo 2

Note que o denominador pode ser escrito completando o quadrado em x^{2}:
x^{4}+2x^{2}+10 = (x^{2}+1)^{2} + 9.

Passo 3

Fazemos a troca de variável
u = x^{2} + 1, \quad du = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \tfrac12\,du.
Assim a integral fica
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}+9}\,dx =\frac12 \int \frac{du}{u^{2}+3^{2}}.

Passo 4

A integral
\displaystyle \int \frac{du}{u^{2}+3^{2}}
é uma forma padrão cuja primitiva é
\tfrac{1}{3}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{3}\bigr).
Portanto
\frac12 \int \frac{du}{u^{2}+9} = \frac12 \cdot \frac{1}{3}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{3}\Bigr) + C = \frac{1}{6}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{3}\Bigr) + C.

Passo 5

Voltando a x pela relação u = x^{2}+1, obtemos
\frac{1}{6}\arctan\!\Bigl(\frac{x^{2}+1}{3}\Bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\arctan\!\Bigl(\frac{x^{2}+1}{3}\Bigr) + C

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