Calcule a integral.
\int \frac{1}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{1}{\sqrt{5 - 4x - x^{2}}}\,dx
Este tipo de integral envolve uma raiz quadrática, e vamos usar o método de completar o quadrado seguido de uma substituição trigonométrica (ou fórmula padrão de arco-seno).

Passo 2

Complete o quadrado no radicando:
5 - 4x - x^{2} = -(x^{2} + 4x - 5) = -\bigl[(x+2)^{2} - 9\bigr] = 9 - (x+2)^{2}.

Passo 3

Faça a troca de variável u = x + 2, de modo que du = dx. A integral torna-se
\int \frac{dx}{\sqrt{9 - (x+2)^{2}}} = \int \frac{du}{\sqrt{9 - u^{2}}}.

Passo 4

Lembrando a fórmula padrão
\int \frac{du}{\sqrt{a^{2} - u^{2}}} = \arcsin\!\biggl(\frac{u}{a}\biggr) + C,
aqui temos a = 3. Logo,
\int \frac{du}{\sqrt{9 - u^{2}}} = \arcsin\!\biggl(\frac{u}{3}\biggr) + C.

Passo 5

Retornando à variável original x (ou seja, u = x+2), obtemos
\arcsin\!\biggl(\frac{x+2}{3}\biggr) + C.

Resposta

\displaystyle \arcsin\!\biggl(\frac{x+2}{3}\biggr) + C

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