Calcule a integral.
\int_{-1}^{1} x^{5} \operatorname{cosh} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} x^{5}\operatorname{cosh} x \,dx.
O conteúdo envolvido é a análise de paridade de funções em integrais definidas sobre intervalos simétricos.

Passo 2

Observamos a paridade de cada fator:
– A função x^5 é ímpar, pois
(-x)^5 = -\,x^5.
– A função \operatorname{cosh} x é par, pois
\operatorname{cosh}(-x) = \operatorname{cosh} x.

Passo 3

O produto de uma função ímpar por uma função par é uma função ímpar. Logo, definindo
f(x) = x^5\operatorname{cosh} x,
temos
f(-x) = (-x)^5\operatorname{cosh}(-x) = -\,x^5\operatorname{cosh} x = -\,f(x).
E sabemos que, para qualquer função ímpar f integrável em [-a,a], vale
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
Aqui a=1, portanto
\int_{-1}^{1} x^5\operatorname{cosh} x \,dx = 0.

Resposta

0

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