Calcule a integral.
\int \operatorname{sen}^{2} x \cos ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin^{2}x\,\cos^{4}x\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de potências de senos e cossenos, onde vamos usar identidades trigonométricas (redução de potência) para reescrever em cossenos de ângulos múltiplos de x e então integrar termo a termo.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x,
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\sin^{2}x\,\cos^{4}x = \cos^{4}x - \cos^{6}x
e a integral vira
\int \sin^{2}x\,\cos^{4}x\,dx = \int \bigl(\cos^{4}x - \cos^{6}x\bigr)\,dx.

Passo 3

Vamos expandir \cos^{4}x usando \cos^{2}x = \tfrac{1+\cos2x}{2}. Primeiro,
\cos^{4}x = \bigl(\cos^{2}x\bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1+\cos2x}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1 + 2\cos2x + \cos^{2}2x}{4}.
Em seguida, \cos^{2}2x = \tfrac{1+\cos4x}{2}, então
\cos^{4}x = \frac{1 + 2\cos2x + \tfrac{1+\cos4x}{2}}{4} = \frac{3 + 4\cos2x + \cos4x}{8}.

Passo 4

Agora expandimos \cos^{6}x = (\cos^{2}x)^{3}. Usando \cos^{2}x = \tfrac{1+\cos2x}{2},
\cos^{6}x = \Bigl(\frac{1+\cos2x}{2}\Bigr)^{3} = \frac{1 + 3\cos2x + 3\cos^{2}2x + \cos^{3}2x}{8}.
Sabendo \cos^{2}2x = \tfrac{1+\cos4x}{2} e
\cos^{3}2x = \cos2x\,\cos^{2}2x = \cos2x\cdot\frac{1+\cos4x}{2} = \frac{\cos2x + \cos2x\cos4x}{2} = \frac{3\cos2x + \cos6x}{4},
obtém-se finalmente
\cos^{6}x = \frac{5}{16} + \frac{15}{32}\cos2x + \frac{3}{16}\cos4x + \frac{1}{32}\cos6x.

Passo 5

Substituindo as expansões em \cos^{4}x - \cos^{6}x, temos
\cos^{4}x - \cos^{6}x = \Bigl(\tfrac{3}{8}+\tfrac{4}{8}\cos2x+\tfrac{1}{8}\cos4x\Bigr) - \Bigl(\tfrac{5}{16}+\tfrac{15}{32}\cos2x+\tfrac{3}{16}\cos4x+\tfrac{1}{32}\cos6x\Bigr).
Calculando termo a termo resulta
\cos^{4}x - \cos^{6}x = \frac{1}{16} + \frac{1}{32}\cos2x - \frac{1}{16}\cos4x - \frac{1}{32}\cos6x.
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\int \sin^{2}x\,\cos^{4}x\,dx = \int \Bigl(\tfrac{1}{16} + \tfrac{1}{32}\cos2x - \tfrac{1}{16}\cos4x - \tfrac{1}{32}\cos6x\Bigr)dx.

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int \frac{1}{16}\,dx = \frac{x}{16}, \quad \int \frac{1}{32}\cos2x\,dx = \frac{1}{32}\cdot\frac{\sin2x}{2} = \frac{\sin2x}{64},
\int -\frac{1}{16}\cos4x\,dx = -\frac{1}{16}\cdot\frac{\sin4x}{4} = -\frac{\sin4x}{64}, \quad \int -\frac{1}{32}\cos6x\,dx = -\frac{1}{32}\cdot\frac{\sin6x}{6} = -\frac{\sin6x}{192}.

Resposta

\int \sin^{2}x\,\cos^{4}x\,dx = \frac{x}{16} + \frac{\sin2x}{64} - \frac{\sin4x}{64} - \frac{\sin6x}{192} + C.

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