Calcule a integral.
\int \frac{e^{x}}{e^{2 x}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\displaystyle \int \frac{e^{x}}{e^{2x}-1}\,dx.
O conteúdo da matéria envolve cálculo de integrais, em particular substituição de variável e frações parciais para resolver a parte racional que surgir.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{x},
o que implica
du = e^{x}\,dx.
Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{e^{x}}{e^{2x}-1}\,dx = \int \frac{du}{u^{2}-1}.

Passo 3

Para integrar \displaystyle \frac{1}{u^{2}-1} usamos frações parciais. Como
u^{2}-1 = (u-1)(u+1),
escrevemos
\frac{1}{u^{2}-1} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u+1}.
Multiplicando por (u-1)(u+1)
1 = A(u+1) + B(u-1).
Tomando u=1 e u=-1 encontramos
A = \tfrac12, \quad B = -\tfrac12.
Portanto
\frac{1}{u^{2}-1} = \frac{1/2}{u-1} \;-\; \frac{1/2}{u+1}.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \frac{du}{u^{2}-1} = \frac12 \int \frac{du}{u-1} \;-\; \frac12 \int \frac{du}{u+1} = \frac12 \ln\lvert u-1\rvert \;-\; \frac12 \ln\lvert u+1\rvert + C.

Passo 5

Juntando os logaritmos:
\frac12 \ln\biggl\lvert\frac{u-1}{u+1}\biggr\rvert + C.
Voltando à variável x com u=e^{x}, obtemos
\frac12 \ln\biggl\lvert\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\biggr\rvert + C.

Resposta

\int \frac{e^{x}}{e^{2x}-1}\,dx = \frac12 \ln\biggl\lvert\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\biggr\rvert + C.

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