Calcule a integral.
\int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções com raiz quadrada de expressão quadrática e fator 1/x. Vamos usar substituição trigonométrica para transformar a raiz num cosseno.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 3\sin\theta,
de modo que
dx = 3\cos\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{9 - x^{2}} = \sqrt{9 - 9\sin^{2}\theta} = 3\cos\theta.
Além disso, x\neq0 implica \sin\theta\neq0.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x}\,dx = \int \frac{3\cos\theta}{3\sin\theta}\;\bigl(3\cos\theta\,d\theta\bigr) = 3\int \frac{\cos^{2}\theta}{\sin\theta}\,d\theta.
Reescrevendo \cos^{2}\theta = 1 - \sin^{2}\theta, fica
3\int \Bigl(\frac{1}{\sin\theta} - \sin\theta\Bigr)\,d\theta = 3\int \csc\theta\,d\theta \;-\; 3\int \sin\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabemos que
\int \csc\theta\,d\theta = \ln\bigl|\tan\frac{\theta}{2}\bigr| + C_{1}, \qquad \int \sin\theta\,d\theta = -\cos\theta + C_{2}.
Portanto
3\int \csc\theta\,d\theta - 3\int \sin\theta\,d\theta = 3\ln\bigl|\tan\frac{\theta}{2}\bigr| + 3\cos\theta + C.

Passo 5

Voltaremos a x. De x=3\sin\theta segue
\sin\theta = \frac{x}{3}, \qquad \cos\theta = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{3}.
Também usamos a identidade
\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1 - \tfrac{\sqrt{9 - x^{2}}}{3}}{\tfrac{x}{3}} = \frac{3 - \sqrt{9 - x^{2}}}{x}.
Substituindo, a integral fica
\sqrt{9 - x^{2}} \;+\; 3\ln\Bigl|\frac{3 - \sqrt{9 - x^{2}}}{x}\Bigr| + C.

Resposta

\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x}\,dx = \sqrt{9 - x^{2}} + 3\ln\Bigl|\frac{3 - \sqrt{9 - x^{2}}}{x}\Bigr| + C.

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