Responda as seguintes questões:
y_{1}(x)=e^{4 x} e y_{2}(x)=x e^{4 x} formam um conjunto fundamental de soluções para y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0 ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
\displaystyle y_{1}(x)=e^{4x} e \displaystyle y_{2}(x)=x\,e^{4x}
formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial
y''-4y'+4y=0.
Para isso precisamos checar dois pontos: (i) cada y_i satisfaz a EDO e (ii) são linearmente independentes.

Passo 2

Vejamos primeiro a equação característica associada:
r^{2}-4r+4=0.
Resolvendo, obtemos
r=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot4}}{2}=\frac{4\pm0}{2}=2,
raiz dupla r=2. Logo a solução geral da EDO é
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}\,x\,e^{2x}.
Isso já indica que qualquer solução deve envolver e^{2x}, não e^{4x}.

Passo 3

Para confirmar que e^{4x} não satisfaz a EDO, calculemos
y_{1}'=4e^{4x}, \qquad y_{1}''=16e^{4x}.
Substituindo em y''-4y'+4y obtém-se
16e^{4x}-4\cdot(4e^{4x})+4\cdot(e^{4x}) =16e^{4x}-16e^{4x}+4e^{4x} =4e^{4x}\neq0.
Portanto \displaystyle y_{1}(x)=e^{4x} não é solução da EDO (e o mesmo vale para y_{2}).

Resposta

Não, pois y_{1} e y_{2} não satisfazem a equação diferencial; a base fundamental correta é \{e^{2x},\,x\,e^{2x}\}.

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