Calcule a integral.
\int_{0}^{1} \sqrt{z}(z+\sqrt[3]{z}) d z

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral
\int_{0}^{1} \sqrt{z}\,\bigl(z + \sqrt[3]{z}\bigr)\,dz.
O conteúdo aqui é integração de potências de z. Vamos usar a propriedade de que \sqrt{z}=z^{1/2} e \sqrt[3]{z}=z^{1/3}, além da regra
\int z^{a}\,dz = \frac{z^{a+1}}{a+1}.

Passo 2

Primeiro, expandimos o integrando usando propriedades de expoentes. Temos
\sqrt{z}\,(z + \sqrt[3]{z}) = z^{1/2}\cdot z + z^{1/2}\cdot z^{1/3} = z^{3/2} + z^{1/2 + 1/3} = z^{3/2} + z^{5/6}.

Passo 3

Com isso, a integral se separa em duas integrais mais simples:
\int_{0}^{1}\bigl(z^{3/2} + z^{5/6}\bigr)dz = \int_{0}^{1}z^{3/2}dz \;+\; \int_{0}^{1}z^{5/6}dz.

Passo 4

Calculamos a primeira integral com a=3/2:
\int_{0}^{1}z^{3/2}dz = \left[\frac{z^{(3/2)+1}}{(3/2)+1}\right]_{0}^{1} = \left[\frac{z^{5/2}}{5/2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5}.

Passo 5

Agora a segunda com a=5/6:
\int_{0}^{1}z^{5/6}dz = \left[\frac{z^{(5/6)+1}}{(5/6)+1}\right]_{0}^{1} = \left[\frac{z^{11/6}}{11/6}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{11/6} = \frac{6}{11}.

Passo 6

Somando os dois resultados:
\frac{2}{5} + \frac{6}{11} = \frac{22}{55} + \frac{30}{55} = \frac{52}{55}.

Resposta

\displaystyle \frac{52}{55}

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