Determine:
a derivada y^{\prime}, se y=\frac{\left(1+x+2 x^{2}\right)^{3}}{(3+4 x)^{4}};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{\bigl(1 + x + 2x^2\bigr)^{3}}{\bigl(3 + 4x\bigr)^{4}}
Nesse problema vamos usar a regra do quociente de funções e, dentro dela, aplicar a regra da cadeia para derivar as potências.

Passo 2

Definimos
u(x) = \bigl(1 + x + 2x^2\bigr)^{3}, \quad v(x) = \bigl(3 + 4x\bigr)^{4}.
A regra do quociente afirma que
y' = \frac{u'v \;-\; u\,v'}{v^{2}}.

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra da cadeia:
u(x) = \bigl(w(x)\bigr)^{3}, \quad w(x) = 1 + x + 2x^2,
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u'(x) = 3\bigl(w(x)\bigr)^{2}\,w'(x) = 3\bigl(1 + x + 2x^2\bigr)^{2}\cdot(1 + 4x).

Passo 4

Calculamos v'(x) also by chain rule:
v(x) = \bigl(z(x)\bigr)^{4}, \quad z(x) = 3 + 4x,
então
v'(x) = 4\bigl(z(x)\bigr)^{3}\,z'(x) = 4\bigl(3 + 4x\bigr)^{3}\cdot 4 = 16\bigl(3 + 4x\bigr)^{3}.

Passo 5

Substituindo na fórmula do quociente:
y' = \frac{ 3(1 + x + 2x^2)^{2}(1 + 4x)\,(3 + 4x)^{4} \;-\; (1 + x + 2x^2)^{3}\,16\,(3 + 4x)^{3} }{ \bigl((3 + 4x)^{4}\bigr)^{2} } = \frac{ 3(1 + x + 2x^2)^{2}(1 + 4x)\,(3 + 4x)^{4} -16(1 + x + 2x^2)^{3}(3 + 4x)^{3} }{ (3 + 4x)^{8} }.

Passo 6

No numerador, fatoramos (1 + x + 2x^2)^{2}(3 + 4x)^{3}:
y' = \frac{(1 + x + 2x^2)^{2}(3 + 4x)^{3} \Bigl[ 3(1 + 4x)(3 + 4x) -16(1 + x + 2x^2) \Bigr] }{(3 + 4x)^{8}}.
Calculando
3(1 + 4x)(3 + 4x) = 3\bigl(3 + 16x + 16x^2\bigr) = 9 + 48x + 48x^2,
e
16(1 + x + 2x^2)=16 + 16x + 32x^2.
Assim o colchete fica
(9 + 48x + 48x^2) - (16 + 16x + 32x^2) = -7 + 32x + 16x^2.
Logo
y' = \frac{(1 + x + 2x^2)^{2}(3 + 4x)^{3}(16x^2 + 32x - 7)}{(3 + 4x)^{8}} = \frac{(1 + x + 2x^2)^{2}(16x^2 + 32x - 7)}{(3 + 4x)^{5}}.

Resposta

y' = \frac{(1 + x + 2x^2)^{2}\,\bigl(16x^2 + 32x - 7\bigr)}{(3 + 4x)^{5}}.

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