Calcule a integral:
\int \frac{4 y^{2}-7 y-12}{y{3}-y{2}-6 y} d y

Passo 1

Enunciado: calcular a integral indefinida
\int \frac{4 y^{2}-7 y-12}{y^{3}-y^{2}-6 y}\,dy.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador é o polinômio 4y^{2}-7y-12.
  • O denominador é o polinômio y^{3}-y^{2}-6y.
  • A integral é indefinida (precisamos incluir a constante de integração).
  • Observação útil (aqui apenas listando um dado que podemos extrair do enunciado): o denominador pode ser escrito como produto de fatores lineares, pois
y^{3}-y^{2}-6y = y\,(y^{2}-y-6) = y\,(y-3)\,(y+2).

Passo 2

Como temos uma função racional com grau do numerador menor que o do denominador (grau 2 no numerador e grau 3 no denominador), uma técnica padrão é decompor a fração em frações parciais com denominadores lineares. Para fatores lineares distintos y, y-3 e y+2, buscamos constantes A, B e C tais que
\frac{4 y^{2}-7 y-12}{y\,(y-3)\,(y+2)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{y-3} + \frac{C}{y+2}.
Explicação rápida do porquê: qualquer fração com denominador fatorado em fatores lineares distintos pode ser escrita como soma de termos do tipo constante sobre cada fator; isso permite integrar termo a termo usando logaritmos.

Passo 3

Multiplicamos a identidade acima por y\,(y-3)\,(y+2) para obter uma igualdade de polinômios:
4y^{2}-7y-12 = A\,(y-3)(y+2) + B\,y\,(y+2) + C\,y\,(y-3).
Agora determinamos A,B,C usando valores convenientes de y.
  • Tomando y=0:
4\cdot0^{2}-7\cdot0-12 = -12 = A\,(0-3)(0+2) = A\cdot(-3)\cdot2 = -6A,
logo A = \dfrac{-12}{-6} = 2. Então A=2.
  • Tomando y=3:
4\cdot3^{2}-7\cdot3-12 = 36-21-12 = 3 = B\cdot 3\cdot(3+2) = B\cdot 3\cdot5 = 15B,
logo B = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}. Então B=\dfrac{1}{5}.
  • Tomando y=-2:
4\cdot(-2)^{2}-7\cdot(-2)-12 = 16+14-12 = 18 = C\cdot(-2)\cdot(-2-3) = C\cdot(-2)\cdot(-5) = 10C,
logo C = \dfrac{18}{10} = \dfrac{9}{5}. Então C=\dfrac{9}{5}.
Conferindo: obtivemos A=2, B=\dfrac{1}{5}, C=\dfrac{9}{5}.

Passo 4

Com os coeficientes encontrados, reescrevemos a integral em termos das parcelas:
\frac{4 y^{2}-7 y-12}{y^{3}-y^{2}-6 y} = \frac{2}{y} + \frac{1/5}{y-3} + \frac{9/5}{y+2}.
Assim
\int \frac{4 y^{2}-7 y-12}{y^{3}-y^{2}-6 y}\,dy = \int \left(\frac{2}{y} + \frac{1/5}{y-3} + \frac{9/5}{y+2}\right)\,dy.

Passo 5

Integramos termo a termo. Lembrete importante: a primitiva de \dfrac{1}{y-a} é \ln|y-a| porque \dfrac{d}{dy}\ln|y-a| = \dfrac{1}{y-a}.
  • \displaystyle \int \frac{2}{y}\,dy = 2\ln|y|.
  • \displaystyle \int \frac{1/5}{y-3}\,dy = \frac{1}{5}\ln|y-3|.
  • \displaystyle \int \frac{9/5}{y+2}\,dy = \frac{9}{5}\ln|y+2|.
Somando e adicionando a constante de integração C, obtemos:
2\ln|y| + \frac{1}{5}\ln|y-3| + \frac{9}{5}\ln|y+2| + C.

Passo 6

Podemos também escrever de forma compacta fatorando \dfrac{1}{5}:
\frac{1}{5}\Big(10\ln|y| + \ln|y-3| + 9\ln|y+2|\Big) + C,
ou como um único logaritmo, se preferir:
\frac{1}{5}\ln\!\big(|y|^{10}\,|y-3|\,|y+2|^{9}\big) + C.
Qualquer uma das formas acima é equivalente; todas diferem apenas pela constante de integração.

Resposta

2\ln|y| + \dfrac{1}{5}\ln|y-3| + \dfrac{9}{5}\ln|y+2| + C

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