Calcule a integral:
\int \frac{4 y^{2}-7 y-12}{y{3}-y{2}-6 y} d y
\int \frac{4 y^{2}-7 y-12}{y{3}-y{2}-6 y} d y
Passo 1
Enunciado: calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A integral é indefinida (precisamos incluir a constante de integração).
- Observação útil (aqui apenas listando um dado que podemos extrair do enunciado): o denominador pode ser escrito como produto de fatores lineares, pois
Passo 2
Como temos uma função racional com grau do numerador menor que o do denominador (grau
no numerador e grau
no denominador), uma técnica padrão é decompor a fração em frações parciais com denominadores lineares. Para fatores lineares distintos
,
e
, buscamos constantes
,
e
tais que
Explicação rápida do porquê: qualquer fração com denominador fatorado em fatores lineares distintos pode ser escrita como soma de termos do tipo constante sobre cada fator; isso permite integrar termo a termo usando logaritmos.
Passo 3
Multiplicamos a identidade acima por
para obter uma igualdade de polinômios:
Agora determinamos
usando valores convenientes de
.
- Tomando
:
logo
. Então
.
- Tomando
:
logo
. Então
.
- Tomando
:
logo
. Então
.
Conferindo: obtivemos
,
,
.
Passo 4
Com os coeficientes encontrados, reescrevemos a integral em termos das parcelas:
Assim
Passo 5
Integramos termo a termo. Lembrete importante: a primitiva de
é
porque
.
-
. -
. -
.
Somando e adicionando a constante de integração
, obtemos:
Passo 6
Podemos também escrever de forma compacta fatorando
:
ou como um único logaritmo, se preferir:
Qualquer uma das formas acima é equivalente; todas diferem apenas pela constante de integração.