Calcule a integral.
\int \frac{x}{8 x^{3}-12 x^{2}+6 x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida \displaystyle \int \frac{x}{8x^{3}-12x^{2}+6x-1}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional. Para resolver, vamos fatorar o denominador e usar substituição.

Passo 2

Repare que o denominador é um cubo de uma expressão linear. De fato,
8x^{3}-12x^{2}+6x-1 = (2x-1)^{3}.

Passo 3

Fazendo a substituição
u = 2x-1,\quad du = 2\,dx\;\Longrightarrow\;dx = \frac{du}{2},\quad x = \frac{u+1}{2},
a integral fica
\int \frac{x}{(2x-1)^{3}}\,dx = \int \frac{\tfrac{u+1}{2}}{u^{3}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{4}\int \frac{u+1}{u^{3}}\,du = \frac{1}{4}\int\bigl(u^{-2}+u^{-3}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\frac{1}{4}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{4}\bigl(-u^{-1}\bigr), \qquad \frac{1}{4}\int u^{-3}\,du = \frac{1}{4}\bigl(-\tfrac{1}{2}u^{-2}\bigr).
Logo
\int \frac{x}{(2x-1)^{3}}\,dx = -\frac{1}{4}u^{-1} - \frac{1}{8}u^{-2} + C.

Passo 5

Voltando a x com u=2x-1, obtemos
-\frac{1}{4(2x-1)} - \frac{1}{8(2x-1)^{2}} + C \;=\; -\frac{4x-1}{8(2x-1)^{2}} + C.

Resposta

-\frac{1}{4(2x-1)} - \frac{1}{8(2x-1)^{2}} + C \quad\text{ou}\quad -\frac{4x-1}{8(2x-1)^{2}} + C.

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