Determine a derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar a derivada da função
f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}
Conteúdo envolvido: regra da cadeia e regra do quociente. Vamos reescrever a raiz como potência e, em seguida, aplicar essas regras.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\Bigl(\frac{1-x}{1+x}\Bigr)^{\tfrac12}.
Pelo teorema da cadeia, se f(x)=g(u(x)) com g(u)=u^{1/2} e u(x)=(1-x)/(1+x), então
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos g'(u). Como g(u)=u^{1/2}, temos
g'(u)=\tfrac12\,u^{-1/2}.
Logo,
g'\bigl(u(x)\bigr) =\tfrac12\Bigl(\frac{1-x}{1+x}\Bigr)^{-\tfrac12}.

Passo 4

Agora calculamos u'(x) pela regra do quociente. Seja
u(x)=\frac{1-x}{1+x}=\frac{v(x)}{w(x)},
com v(x)=1-x e w(x)=1+x. Então
v'(x)=-1, \quad w'(x)=1,
e
u'(x) =\frac{v'(x)\,w(x)-v(x)\,w'(x)}{[w(x)]^2} =\frac{(-1)(1+x)-(1-x)(1)}{(1+x)^2} =\frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} =\frac{-2}{(1+x)^2}.

Passo 5

Juntando tudo pela regra da cadeia:
f'(x) =\tfrac12\Bigl(\frac{1-x}{1+x}\Bigr)^{-\tfrac12}\!\! \cdot\frac{-2}{(1+x)^2} =-\Bigl(\frac{1-x}{1+x}\Bigr)^{-\tfrac12}\frac{1}{(1+x)^2}.
Como \bigl((1-x)/(1+x)\bigr)^{-1/2}=\sqrt{\tfrac{1+x}{1-x}}, obtemos
f'(x) =-\frac{\sqrt{\tfrac{1+x}{1-x}}}{(1+x)^2} =-\frac{1}{(1+x)^2}\,\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} =-\frac{1}{\sqrt{1-x}\,(1+x)^{3/2}}.

Resposta

\boxed{\,f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x}\,(1+x)^{3/2}}\,.}

Exercícios relacionados