Determine a derivada das seguintes funções:
f(x)=e^{2 x} \ln \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{2x}\,\ln\bigl(x^{2}\bigr),
cujo domínio é x\neq0. Para resolver, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia (para derivar e^{2x} e \ln(x^2)).

Passo 2

Definimos
u(x)=e^{2x} \quad\text{e}\quad v(x)=\ln\bigl(x^{2}\bigr).
Então
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)=2\,e^{2x},
v'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\ln\bigl(x^{2}\bigr)\Bigr) =\frac{1}{x^{2}}\cdot 2x =\frac{2}{x}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x), obtemos
f'(x) =2\,e^{2x}\,\ln\bigl(x^{2}\bigr) +e^{2x}\,\frac{2}{x}.

Passo 4

Fatorando 2\,e^{2x}, fica
f'(x) =2\,e^{2x}\Bigl(\ln\bigl(x^{2}\bigr)+\tfrac{1}{x}\Bigr).
Opcionalmente, lembrando que \ln(x^{2})=2\ln|x|, pode-se escrever
f'(x)=2\,e^{2x}\Bigl(2\ln|x|+\tfrac{1}{x}\Bigr).

Resposta

f'(x)=2\,e^{2x}\Bigl(\ln\bigl(x^{2}\bigr)+\tfrac{1}{x}\Bigr).

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