Calcule a integral.
\int_{0}^{\pi / 4} \cos ^{5} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4}\cos^{5}\theta\,d\theta.
O conteúdo envolvido é integral de potência ímpar de cosseno. Vamos usar a identidade \cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta para reduzir a potência e, em seguida, uma substituição u=\sin\theta.

Passo 2

Escrevemos
\cos^{5}\theta = \cos^{4}\theta\;\cos\theta = \bigl(\cos^{2}\theta\bigr)^{2}\cos\theta = \bigl(1-\sin^{2}\theta\bigr)^{2}\cos\theta.
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\int_{0}^{\pi/4}\cos^{5}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/4}\bigl(1-\sin^{2}\theta\bigr)^{2}\cos\theta\,d\theta.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \sin\theta,\quad du = \cos\theta\,d\theta.
Quando \theta=0, u=0; quando \theta=\pi/4, u=\sin(\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}{2}. A integral passa a ser
\int_{0}^{\pi/4}\bigl(1-\sin^{2}\theta\bigr)^{2}\cos\theta\,d\theta = \int_{0}^{\sqrt2/2}(1-u^{2})^{2}\,du.

Passo 4

Expandimos o quadrado e integramos termo a termo:
(1-u^{2})^{2} = 1 - 2u^{2} + u^{4},
então
\int(1-u^{2})^{2}\,du = \int\bigl(1 - 2u^{2} + u^{4}\bigr)\,du = u - \tfrac{2}{3}u^{3} + \tfrac{1}{5}u^{5}
é uma primitiva.

Passo 5

Avaliaremos de u=0 até u=\tfrac{\sqrt2}{2}. Para u=\tfrac{\sqrt2}{2}:
u=\tfrac{\sqrt2}{2},\quad u^{3}=\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)^{3}=\tfrac{\sqrt2}{4},\quad u^{5}=\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)^{5}=\tfrac{\sqrt2}{8}.
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\Bigl[u - \tfrac{2}{3}u^{3} + \tfrac{1}{5}u^{5}\Bigr]_{0}^{\sqrt2/2} = \sqrt2\Bigl(\tfrac12 - \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{40}\Bigr) = \sqrt2\cdot\tfrac{43}{120} = \tfrac{43\sqrt2}{120}.

Resposta

\int_{0}^{\pi/4}\cos^{5}\theta\,d\theta = \frac{43\sqrt2}{120}.

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