Calcule a integral.
\int \frac{x e^{2}}{(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int \frac{x e^{2}}{(x+1)^{2}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função racional por meio de decomposição do numerador. Vamos usar que e^{2} é constante e que podemos escrever x como (x+1)-1.

Passo 2

Fatoramos a constante e^{2} para fora da integral:
\int \frac{x e^{2}}{(x+1)^{2}}\,dx = e^{2}\int \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx.

Passo 3

Fazemos a decomposição do numerador:
x = (x+1)-1,
portanto
\frac{x}{(x+1)^{2}} = \frac{(x+1)-1}{(x+1)^{2}} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^{2}}.
Isso transforma a integral em
e^{2}\int\!\Bigl(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^{2}}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo:
  1. \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1|.
  2. \displaystyle \int \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = \int (x+1)^{-2}\,dx = -(x+1)^{-1}.
    Logo
\int \Bigl(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^{2}}\Bigr)\,dx = \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C'.

Passo 5

Multiplicamos de volta por e^{2} e absorvemos a constante em C:
\int \frac{x e^{2}}{(x+1)^{2}}\,dx = e^{2}\Bigl(\ln|x+1| + \frac{1}{x+1}\Bigr) + C.

Resposta

e^{2}\ln|x+1| + \frac{e^{2}}{x+1} + C

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