Calcule a integral.
\int \ln \left(x^{2}+4\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \ln\bigl(x^{2}+4\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para a integração por partes:
u = \ln\bigl(x^{2}+4\bigr), \qquad dv = dx.
Então
du = \frac{2x}{x^{2}+4}\,dx, \qquad v = \int dv = x.
Aplicando a fórmula,
\int \ln\bigl(x^{2}+4\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) - \int x\cdot \frac{2x}{x^{2}+4}\,dx.

Passo 3

Simplificamos a integral remanescente:
\int x\cdot \frac{2x}{x^{2}+4}\,dx = 2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+4}\,dx.
Para continuar, escrevemos
\frac{x^{2}}{x^{2}+4} = 1 - \frac{4}{x^{2}+4},
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2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+4}\,dx = 2\int 1\,dx \;-\; 2\int \frac{4}{x^{2}+4}\,dx = 2x \;-\; 8\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx.

Passo 4

Reconhecemos que
\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = \int \frac{1}{(x/2)^{2}+1}\,\frac{dx}{4/(2)} = \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(x/2\bigr).
Portanto
8\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = 8\cdot \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(x/2\bigr) = 4\,\arctan\!\bigl(x/2\bigr).
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2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+4}\,dx = 2x - 4\,\arctan\!\bigl(x/2\bigr).

Passo 5

Substituindo de volta na expressão principal:
\int \ln\bigl(x^{2}+4\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) - \bigl[2x - 4\,\arctan\!\bigl(x/2\bigr)\bigr] + C.
Distribuindo o sinal e agrupando,
\int \ln\bigl(x^{2}+4\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) - 2x + 4\,\arctan\!\bigl(x/2\bigr) + C.

Resposta

\boxed{\int \ln\bigl(x^{2}+4\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) - 2x + 4\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.}

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