Calcule a integral.
\int_{i}^{4}\left(5-2 t+3 t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{i}^{4}\bigl(5 - 2t + 3t^{2}\bigr)\,dt.
O conteúdo envolvido é a integração de um polinômio usando o Teorema Fundamental do Cálculo: basta encontrar uma primitiva F(t) e avaliar F(4) - F(i).

Passo 2

Para achar a primitiva de f(t)=5 - 2t + 3t^{2}, aplicamos a regra de potência termo a termo:
\int 5\,dt = 5t, \quad \int (-2t)\,dt = -t^{2}, \quad \int 3t^{2}\,dt = t^{3}.
Logo podemos tomar
F(t) = 5t - t^{2} + t^{3}.

Passo 3

Avaliando em t=4:
F(4) = 5\cdot 4 - 4^{2} + 4^{3} = 20 - 16 + 64 = 68.

Passo 4

Avaliando em t=i:
F(i) = 5i - i^{2} + i^{3}.
Como i^{2} = -1 e i^{3} = -i, temos
F(i) = 5i - (-1) + (-i) = 5i + 1 - i = 1 + 4i.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{i}^{4}\bigl(5 - 2t + 3t^{2}\bigr)\,dt = F(4) - F(i) = 68 - (1 + 4i) = 67 - 4i.

Resposta

67 - 4i

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