Questão 5. Utilize coordenadas cilíndricas para calcular \iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V, onde E é limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e o plano z=4.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dV
onde E é o sólido limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo plano z=4.
Conteúdo: uso de coordenadas cilíndricas para transformar a integral tripla, aplicando o Jacobiano apropriado.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = r e
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
A região E em ( r,\theta,z) está descrita por
0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le r \le 2,\quad r^{2} \le z \le 4,
pois a interseção do paraboloide com o plano ocorre em r^{2}=4, ou seja r=2.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=r^{2}}^{4} r \,\bigl(r\,dz\,dr\,d\theta\bigr) = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}\!\!\int_{r^{2}}^{4} r^{2}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{z=r^{2}}^{4} r^{2}\,dz = r^{2}\bigl(4 - r^{2}\bigr).
Logo a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{2}\bigl(4 - r^{2}\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculamos a integral em r:
\int_{0}^{2}\bigl(4r^{2}-r^{4}\bigr)\,dr =\left[\frac{4r^{3}}{3}-\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{2} =\frac{32}{3}-\frac{32}{5} =\frac{64}{15}.
Em seguida, integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{64}{15}\,d\theta =\frac{64}{15}\cdot2\pi =\frac{128\pi}{15}.

Resposta

\frac{128\pi}{15}.

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