a) Utilize coordenadas esféricas para calcular \iiint_{E} 1 d V, onde E é a cunha esférica E:=\{(x, y, z) : \left.x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, y \geq 0\right\}.
b) Qual é o volume do sólido E ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido
E = \bigl\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4,\;y\ge0\bigr\}
usando coordenadas esféricas e depois concluir qual é esse volume. O conteúdo aqui é a mudança para coordenadas esféricas e a avaliação de uma integral tripla de 1.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi
e o elemento de volume é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Os limites de integração são
\rho vai de 0 a 2 (raio da esfera),
\varphi vai de 0 a \pi (ângulo polar completo),
e de y\ge0 vem \sin\theta\ge0, ou seja
\theta\in[0,\pi].

Passo 4

Escrevemos a integral
\iiint_{E}1\,dV =\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=0}^{2} \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Calculando separadamente:
\int_{0}^{2}\rho^{2}\,d\rho = \frac{8}{3},\quad \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = 2,\quad \int_{0}^{\pi}d\theta = \pi.
Multiplicando,
\iiint_{E}1\,dV =\frac{8}{3}\times 2\times \pi =\frac{16\pi}{3}.

Resposta

(a) \displaystyle \iiint_{E}1\,dV = \frac{16\pi}{3}.
(b) O volume de E é \displaystyle \frac{16\pi}{3}, pois E é exatamente metade da esfera de raio 2, cujo volume é \tfrac{4}{3}\pi\cdot2^{3}=\tfrac{32\pi}{3}. Então fica \tfrac12\cdot\tfrac{32\pi}{3}=\tfrac{16\pi}{3}.

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