a) Utilize coordenadas esféricas para calcular
, onde
é a cunha esférica
:
.
b) Qual é o volume do sólido
? Justifique sua resposta.
b) Qual é o volume do sólido
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido
usando coordenadas esféricas e depois concluir qual é esse volume. O conteúdo aqui é a mudança para coordenadas esféricas e a avaliação de uma integral tripla de
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
e o elemento de volume é
Passo 3
Os limites de integração são
vai de
a
(raio da esfera),
vai de
a
(ângulo polar completo),
e de vem
, ou seja
.
e de
Passo 4
Escrevemos a integral
Calculando separadamente:
Multiplicando,
Resposta
(a)
(b) O volume de é
, pois
é exatamente metade da esfera de raio
, cujo volume é
. Então fica
.
(b) O volume de