Calcule a integral
\int_{0}^{4} f(x) d x se f(x)= \left\{\begin{array}{l}5,0 \leq x<2 \\\\ 3,2 \leq x \leq 4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{0}^{4} f(x)\,dx\), onde a função \(f\) é dada por \[f(x)=\begin{cases} 5, & 0\le x<2,\\[4pt] 3, & 2\le x\le 4. \end{cases}
Informações relevantes:
\;0\], \(\;2 e \;4 são os pontos que dividem o intervalo de integração; em cada subintervalo f é constante (valores 5 e 3); a integral definida a calcular é no intervalo [0,4].]

Passo 2

Conceito necessário (explicado de forma prática): quando uma função é constante em um intervalo [a,b], digamos f(x)=c para todo x\in[a,b], a integral definida nesse intervalo é a área de um retângulo de altura c e base b-a. A fórmula é
\int_{a}^{b} c\,dx = c\,(b-a),
onde c é a altura (valor da função) e b-a é a largura (comprimento do intervalo). Aqui cada símbolo significa: a,b são extremos do intervalo, c é a constante que vale a função nesse intervalo e \int_a^b indica que estamos somando (integrando) ao longo do intervalo.

Passo 3

Observação importante para a prova (muito usada): a integral não é afetada pelo valor da função em um ponto isolado. Ou seja, o fato de f estar definido como 5 para x<2 e 3 em x=2 não muda o valor da integral em [0,4], porque um ponto tem “largura” zero. Assim podemos integrar separadamente em [0,2] e em [2,4] e somar:
\int_{0}^{4} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} f(x)\,dx + \int_{2}^{4} f(x)\,dx.
Essa propriedade chama-se aditividade da integral em intervalos.

Passo 4

Calcule a integral no primeiro subintervalo [0,2]. Como f(x)=5 em [0,2) (e o valor em 2 não importa), aplicamos a fórmula para função constante:
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} 5\,dx = 5\,(2-0) = 5\cdot 2 = 10.
Expliquei passo a passo: altura c=5, base b-a=2-0=2, então área =5\cdot2=10.

Passo 5

Calcule a integral no segundo subintervalo [2,4]. Aqui f(x)=3, então
\int_{2}^{4} f(x)\,dx = \int_{2}^{4} 3\,dx = 3\,(4-2) = 3\cdot 2 = 6.
Novamente: altura 3, base 2, área 6.

Passo 6

Some as duas áreas obtidas (pela aditividade citada no Passo 3):
\int_{0}^{4} f(x)\,dx = 10 + 6 = 16.
Pronto — a integral é a soma das áreas dos dois retângulos.

Resposta

16

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