Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
F(x)=\int_{0}^{x} t^{4} d t

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\int_{0}^{x} t^{4}\,dt
e pede a derivada F'(x). Informações importantes que o enunciado fornece:
  • A integranda é \;t^{4}\;.
  • Os limites de integração são 0 (constante) e x (variável).
  • A pergunta explícita é: calcular F'(x).

Passo 2

Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática). Vou enunciar a ideia de forma simples: se f é contínua numa região que contém a e x, então a função
G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
é diferenciável e sua derivada é
G'(x)=f(x).
O que isso diz em palavras: mudar o limite superior em uma pequena quantidade \Delta x acrescenta, aproximadamente, uma área retangular de altura f(x) e largura \Delta x; dividindo pela largura e fazendo \Delta x\to0 obtemos f(x). Aqui: f(t)=t^{4}, a=0, e G=F.

Passo 3

Primeiro verificamos a condição do teorema: \;t^{4}\; é um polinômio, portanto é contínuo para todo t. Logo podemos aplicar diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Aplicando:
F'(x)=\biggl(\int_{0}^{x} t^{4}\,dt\biggr)' = x^{4}.
Pronto — essa é a forma mais direta.

Passo 4

Vou também mostrar o método alternativo (que dá o mesmo resultado) para reforçar: calcule a integral definida explicitamente usando a regra de potência para antiderivadas. A regra diz que, para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=4,
\int t^{4}\,dt=\frac{t^{5}}{5}+C.
Para a integral definida temos
F(x)=\int_{0}^{x} t^{4}\,dt=\left[\frac{t^{5}}{5}\right]_{0}^{x}=\frac{x^{5}}{5}-\frac{0^{5}}{5}=\frac{x^{5}}{5}.

Passo 5

Agora derivamos \;F(x)=\dfrac{x^{5}}{5}\; usando a regra da potência para derivadas: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Então
F'(x)=\left(\frac{x^{5}}{5}\right)'=\frac{1}{5}\cdot 5x^{4}=x^{4},
o que confirma o resultado obtido pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 6

Dica rápida para a prova (ânimo!): quando o limite superior é exatamente x, aplique direto F'(x)= integranda avaliada em x. Se o limite superior for uma função g(x), a regra generalizada é
\frac{d}{dx}\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt = f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
Exemplo curto: \dfrac{d}{dx}\int_{0}^{x^{2}} t^{4}\,dt= (x^{2})^{4}\cdot 2x = 2x^{9}.

Resposta

F'(x)=x^{4}

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