Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
. Informações importantes que o enunciado fornece:
- A integranda é
. - Os limites de integração são
(constante) e (variável). - A pergunta explícita é: calcular
.
Passo 2
Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática). Vou enunciar a ideia de forma simples: se
é contínua numa região que contém
e
, então a função
é diferenciável e sua derivada é
O que isso diz em palavras: mudar o limite superior em uma pequena quantidade
acrescenta, aproximadamente, uma área retangular de altura
e largura
; dividindo pela largura e fazendo
obtemos
. Aqui:
,
, e
.
Passo 3
Primeiro verificamos a condição do teorema:
é um polinômio, portanto é contínuo para todo
. Logo podemos aplicar diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Aplicando:
Pronto — essa é a forma mais direta.
Passo 4
Vou também mostrar o método alternativo (que dá o mesmo resultado) para reforçar: calcule a integral definida explicitamente usando a regra de potência para antiderivadas. A regra diz que, para
,
Aplicando com
,
Para a integral definida temos
Passo 5
Agora derivamos
usando a regra da potência para derivadas: a derivada de
é
. Então
o que confirma o resultado obtido pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 6
Dica rápida para a prova (ânimo!): quando o limite superior é exatamente
, aplique direto
integranda avaliada em
. Se o limite superior for uma função
, a regra generalizada é
Exemplo curto: