Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
. Informações dadas e pontos importantes que vemos no enunciado:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - A função dentro do valor absoluto,
, é zero em . Esse ponto é relevante porque em torno dele a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal. - Portanto a integral precisa considerar o comportamento da função para
e para .
Passo 2
Entendendo o valor absoluto e como transformá-lo em uma função sem o módulo: a definição do valor absoluto diz
Aqui
Explicando: para
, então
. Para
temos
, então
.]
Passo 3
Escolhendo o método: como o integrando é uma função com módulo que troca de sinal em
, o método mais direto (e o mais básico) é dividir a integral no ponto onde muda o sinal e integrar cada parte com a expressão sem módulo. Esse método é rápido de aplicar em prova e utiliza apenas cálculo de primitivas de polinômios (conteúdo básico). Portanto vamos escrever a integral como soma de duas integrais, uma de
a
e outra de
a
.
Passo 4
Escrevendo a integral dividida usando a expressão piecewise encontrada:
Aqui trocamos
por
no intervalo
e por
no intervalo
.
Passo 5
Calculando a primeira integral
.
- Primeiro achamos uma primitiva de
. Uma primitiva é uma função cuja derivada é . Uma primitiva é , pois . - Avaliamos nos extremos usando a fórmula da integral definida:
- Agora substituímos:
- Calculando as diferenças:
logo
Passo 6
Calculando a segunda integral
.
- Uma primitiva de
é , pois . - Avaliando nos extremos:
- Substituindo:
- Simplificando cada parêntese:
- Então
Passo 7
Somando as duas partes obtidas:
Comentário extra (útil para a prova): geometricamente
forma um “V” com vértice em
; na região
e
temos dois triângulos de base
e altura
, cada um com área
, total
. Isso confirma o cálculo.
Resposta
4