Calcule a integral
\int_{1}^{5}|x-3| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle \int_{1}^{5} |x-3|\,dx. Informações dadas e pontos importantes que vemos no enunciado:
  • O integrando é |x-3|.
  • Os limites de integração são 1 e 5.
  • A função dentro do valor absoluto, x-3, é zero em x=3. Esse ponto é relevante porque em torno dele a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.
  • Portanto a integral precisa considerar o comportamento da função para x<3 e para x>3.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto e como transformá-lo em uma função sem o módulo: a definição do valor absoluto diz
|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui u=x-3\). Assim, para nossa função: \[|x-3| = \begin{cases} 3-x, & \text{se } x<3,\\[4pt] x-3, & \text{se } x\ge 3. \end{cases}
Explicando: para x<3\] temos \(x-3<0, então |x-3|=-(x-3)=3-x. Para x\ge3 temos x-3\ge0, então |x-3|=x-3.]

Passo 3

Escolhendo o método: como o integrando é uma função com módulo que troca de sinal em x=3, o método mais direto (e o mais básico) é dividir a integral no ponto onde muda o sinal e integrar cada parte com a expressão sem módulo. Esse método é rápido de aplicar em prova e utiliza apenas cálculo de primitivas de polinômios (conteúdo básico). Portanto vamos escrever a integral como soma de duas integrais, uma de 1 a 3 e outra de 3 a 5.

Passo 4

Escrevendo a integral dividida usando a expressão piecewise encontrada:
\int_{1}^{5} |x-3|\,dx = \int_{1}^{3} (3-x)\,dx \;+\; \int_{3}^{5} (x-3)\,dx.
Aqui trocamos |x-3| por 3-x no intervalo [1,3] e por x-3 no intervalo [3,5].

Passo 5

Calculando a primeira integral \displaystyle \int_{1}^{3} (3-x)\,dx.
  • Primeiro achamos uma primitiva de 3-x. Uma primitiva é uma função cuja derivada é 3-x. Uma primitiva é F(x)=3x-\dfrac{x^{2}}{2}, pois F'(x)=3 - x.
  • Avaliamos nos extremos usando a fórmula da integral definida:
\int_{1}^{3} (3-x)\,dx = \left[3x-\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{3}.
  • Agora substituímos:
\left(3\cdot 3 - \dfrac{3^{2}}{2}\right) - \left(3\cdot 1 - \dfrac{1^{2}}{2}\right) = \left(9 - \dfrac{9}{2}\right) - \left(3 - \dfrac{1}{2}\right).
  • Calculando as diferenças:
9 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{9}{2},\qquad 3 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2},
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\int_{1}^{3} (3-x)\,dx = \dfrac{9}{2} - \dfrac{5}{2} = \dfrac{4}{2} = 2.

Passo 6

Calculando a segunda integral \displaystyle \int_{3}^{5} (x-3)\,dx.
  • Uma primitiva de x-3 é G(x)=\dfrac{x^{2}}{2}-3x, pois G'(x)=x-3.
  • Avaliando nos extremos:
\int_{3}^{5} (x-3)\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2}-3x\right]_{3}^{5}.
  • Substituindo:
\left(\dfrac{5^{2}}{2}-3\cdot 5\right) - \left(\dfrac{3^{2}}{2}-3\cdot 3\right) = \left(\dfrac{25}{2}-15\right) - \left(\dfrac{9}{2}-9\right).
  • Simplificando cada parêntese:
\dfrac{25}{2}-15 = \dfrac{25-30}{2} = -\dfrac{5}{2},\qquad \dfrac{9}{2}-9 = \dfrac{9-18}{2} = -\dfrac{9}{2}.
  • Então
\int_{3}^{5} (x-3)\,dx = -\dfrac{5}{2} - \left(-\dfrac{9}{2}\right) = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{9}{2} = \dfrac{4}{2} = 2.

Passo 7

Somando as duas partes obtidas:
\int_{1}^{5} |x-3|\,dx = \int_{1}^{3} (3-x)\,dx + \int_{3}^{5} (x-3)\,dx = 2 + 2 = 4.
Comentário extra (útil para a prova): geometricamente |x-3| forma um “V” com vértice em x=3; na região [1,3] e [3,5] temos dois triângulos de base 2 e altura 2, cada um com área \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2, total 4. Isso confirma o cálculo.

Resposta

4

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