Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida do vetor função no intervalo
:
Informações relevantes fornecidas:
O objetivo é obter um vetor cujas componentes são as integrais definidas correspondentes no intervalo
.
Passo 2
Regra importante (explicação didática): a integral de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja,
Vou então calcular separadamente as três integrais escalares e montar o vetor final. Dica prática: resolva cada integral em ordem e com calma — vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Calcular a componente em
:
Fórmula que usamos (regra do polinômio): para
,
Aqui
, logo uma primitiva é
. Avaliando de
a
:
Portanto a componente em
é
.
Passo 4
Calcular a componente em
:
Técnica: substituição simples. Seja
. Então
e
. Os limites mudam: quando
temos
; quando
temos
. Reescrevendo a integral:
Agora
, então
Integramos termo a termo usando a regra do polinômio:
Somando:
Portanto a componente em
é
.
Passo 5
Calcular a componente em
:
Observação:
é a mesma função que
. Técnica adequada: integração por partes. Regra de integração por partes (fórmula):
Escolhemos
(assim
) e
. Precisamos de
, ou seja, uma primitiva de
:
porque a derivada de
é
. Aplicando a fórmula:
Isto é
Uma primitiva de
é
. Logo a primitiva completa é
Agora avaliamos de
a
. Primeiro em
:
pois
e
. Em
:
pois
e
. A integral definida é diferença:
Portanto a componente em
é
.
Passo 6
Montando as três componentes obtidas, a integral vetorial vale: