Calcule a integral.
\int_{1}^{2}\left(\mathrm{t}^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{i}}+\mathrm{t} \sqrt{\mathrm{t}-1} \overrightarrow{\boldsymbol{j}}+\mathrm{t} \operatorname{sen}(\pi \mathrm{t}) \overrightarrow{\boldsymbol{k}}\right) \mathrm{dt}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida do vetor função no intervalo [1,2]:
\int_{1}^{2}\left(\mathrm{t}^{2}\overrightarrow{\boldsymbol{i}}+\mathrm{t}\sqrt{\mathrm{t}-1}\,\overrightarrow{\boldsymbol{j}}+\mathrm{t}\operatorname{sen}(\pi \mathrm{t})\,\overrightarrow{\boldsymbol{k}}\right)\mathrm{d}t.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Componente em }\overrightarrow{\boldsymbol{i}}: \; \mathrm{t}^{2},
\text{Componente em }\overrightarrow{\boldsymbol{j}}: \; \mathrm{t}\sqrt{\mathrm{t}-1},
\text{Componente em }\overrightarrow{\boldsymbol{k}}: \; \mathrm{t}\operatorname{sen}(\pi \mathrm{t}).
O objetivo é obter um vetor cujas componentes são as integrais definidas correspondentes no intervalo [1,2].

Passo 2

Regra importante (explicação didática): a integral de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja,
\int_{a}^{b}\big(f(t)\,\overrightarrow{\boldsymbol{i}}+g(t)\,\overrightarrow{\boldsymbol{j}}+h(t)\,\overrightarrow{\boldsymbol{k}}\big)\mathrm{d}t = \left(\int_{a}^{b}f(t)\mathrm{d}t\right)\overrightarrow{\boldsymbol{i}}+\left(\int_{a}^{b}g(t)\mathrm{d}t\right)\overrightarrow{\boldsymbol{j}}+\left(\int_{a}^{b}h(t)\mathrm{d}t\right)\overrightarrow{\boldsymbol{k}}.
Vou então calcular separadamente as três integrais escalares e montar o vetor final. Dica prática: resolva cada integral em ordem e com calma — vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Calcular a componente em \overrightarrow{\boldsymbol{i}}:
\int_{1}^{2}\mathrm{t}^{2}\mathrm{d}t.
Fórmula que usamos (regra do polinômio): para n\neq -1,
\int \mathrm{t}^{n}\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{t}^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=2, logo uma primitiva é \frac{\mathrm{t}^{3}}{3}. Avaliando de 1 a 2:
\left[\frac{\mathrm{t}^{3}}{3}\right]_{1}^{2}=\frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.
Portanto a componente em \overrightarrow{\boldsymbol{i}} é \frac{7}{3}.

Passo 4

Calcular a componente em \overrightarrow{\boldsymbol{j}}:
\int_{1}^{2}\mathrm{t}\sqrt{\mathrm{t}-1}\,\mathrm{d}t.
Técnica: substituição simples. Seja \displaystyle u=\mathrm{t}-1. Então \mathrm{t}=u+1 e \mathrm{d}t=\mathrm{d}u. Os limites mudam: quando \mathrm{t}=1 temos u=0; quando \mathrm{t}=2 temos u=1. Reescrevendo a integral:
\int_{0}^{1}(u+1)\sqrt{u}\,\mathrm{d}u.
Agora \sqrt{u}=u^{1/2}, então
(u+1)u^{1/2}=u^{3/2}+u^{1/2}.
Integramos termo a termo usando a regra do polinômio:
\int_{0}^{1}u^{3/2}\mathrm{d}u=\left[\frac{u^{5/2}}{5/2}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{5},
\int_{0}^{1}u^{1/2}\mathrm{d}u=\left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}.
Somando:
\frac{2}{5}+\frac{2}{3}=\frac{6+10}{15}=\frac{16}{15}.
Portanto a componente em \overrightarrow{\boldsymbol{j}} é \frac{16}{15}.

Passo 5

Calcular a componente em \overrightarrow{\boldsymbol{k}}:
\int_{1}^{2}\mathrm{t}\operatorname{sen}(\pi \mathrm{t})\,\mathrm{d}t.
Observação: \operatorname{sen}(\pi \mathrm{t}) é a mesma função que \sin(\pi t). Técnica adequada: integração por partes. Regra de integração por partes (fórmula):
\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u.
Escolhemos u=\mathrm{t} (assim \mathrm{d}u=\mathrm{d}t) e \mathrm{d}v=\operatorname{sen}(\pi \mathrm{t})\mathrm{d}t. Precisamos de v, ou seja, uma primitiva de \operatorname{sen}(\pi \mathrm{t}):
v=\int \operatorname{sen}(\pi \mathrm{t})\mathrm{d}t = -\frac{\cos(\pi \mathrm{t})}{\pi},
porque a derivada de \cos(\pi t) é -\pi\sin(\pi t). Aplicando a fórmula:
\int \mathrm{t}\operatorname{sen}(\pi \mathrm{t})\mathrm{d}t = \mathrm{t}\left(-\frac{\cos(\pi \mathrm{t})}{\pi}\right) - \int \left(-\frac{\cos(\pi \mathrm{t})}{\pi}\right)\mathrm{d}t.
Isto é
-\frac{\mathrm{t}\cos(\pi \mathrm{t})}{\pi} + \frac{1}{\pi}\int \cos(\pi \mathrm{t})\mathrm{d}t.
Uma primitiva de \cos(\pi \mathrm{t}) é \frac{\sin(\pi \mathrm{t})}{\pi}. Logo a primitiva completa é
-\frac{\mathrm{t}\cos(\pi \mathrm{t})}{\pi} + \frac{\sin(\pi \mathrm{t})}{\pi^{2}}.
Agora avaliamos de \mathrm{t}=1 a \mathrm{t}=2. Primeiro em \mathrm{t}=2:
-\frac{2\cos(2\pi)}{\pi}+\frac{\sin(2\pi)}{\pi^{2}} = -\frac{2\cdot 1}{\pi}+0 = -\frac{2}{\pi},
pois \cos(2\pi)=1 e \sin(2\pi)=0. Em \mathrm{t}=1:
-\frac{1\cos(\pi)}{\pi}+\frac{\sin(\pi)}{\pi^{2}} = -\frac{1\cdot(-1)}{\pi}+0 = \frac{1}{\pi},
pois \cos(\pi)=-1 e \sin(\pi)=0. A integral definida é diferença:
\left(-\frac{2}{\pi}\right)-\left(\frac{1}{\pi}\right)=-\frac{3}{\pi}.
Portanto a componente em \overrightarrow{\boldsymbol{k}} é -\frac{3}{\pi}.

Passo 6

Montando as três componentes obtidas, a integral vetorial vale:
\frac{7}{3}\overrightarrow{\boldsymbol{i}}+\frac{16}{15}\overrightarrow{\boldsymbol{j}}-\frac{3}{\pi}\overrightarrow{\boldsymbol{k}}.

Resposta

\dfrac{7}{3}\overrightarrow{\boldsymbol{i}}+\dfrac{16}{15}\overrightarrow{\boldsymbol{j}}-\dfrac{3}{\pi}\overrightarrow{\boldsymbol{k}}

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