Calcule a integral.
\int_{0}^{1}\left(t, 1, e^{t}\right) \cdot(1,1,1) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de um produto escalar de duas funções vetoriais em [0,1]. O conteúdo é produto escalar e integração de soma de funções elementares. Vamos usar que
\int_{0}^{1}\bigl(f(t)+g(t)+h(t)\bigr)\,dt =\int_{0}^{1}f(t)\,dt+\int_{0}^{1}g(t)\,dt+\int_{0}^{1}h(t)\,dt.

Passo 2

Primeiro, computamos o produto escalar no integrando:
(t,\,1,\,e^{t})\cdot(1,\,1,\,1) = t + 1 + e^{t}.

Passo 3

Agora escrevemos a integral como soma de três integrais:
\int_{0}^{1}(t + 1 + e^{t})\,dt =\int_{0}^{1}t\,dt +\int_{0}^{1}1\,dt +\int_{0}^{1}e^{t}\,dt.

Passo 4

Calculamos cada uma:
\int_{0}^{1}t\,dt =\biggl[\frac{t^{2}}{2}\biggr]_{0}^{1} =\frac{1}{2},
\int_{0}^{1}1\,dt =[t]_{0}^{1} =1,
\int_{0}^{1}e^{t}\,dt =[e^{t}]_{0}^{1} =e-1.
Somando,
\frac{1}{2}+1+(e-1) =\frac{1}{2}+e.

Resposta

e+\frac{1}{2}

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