Calcule a integral.
\int_{-1}^{1} \sin 3 t \vec{i}+\frac{1}{1+t^{2}} \vec{j} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do campo vetorial \displaystyle \int_{-1}^{1}\bigl(\sin(3t)\,\vec i + \tfrac{1}{1+t^{2}}\,\vec j\bigr)\,dt.
O conteúdo é integração de funções componentes, que se faz componente a componente.

Passo 2

Analisamos a componente em \vec i:
\int_{-1}^{1}\sin(3t)\,dt.
Como \sin(3t) é função ímpar \sin(3(-t))=-\sin(3t) e o intervalo é simétrico, essa integral vale zero:
\int_{-1}^{1}\sin(3t)\,dt = 0.

Passo 3

Analisamos a componente em \vec j:
\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Sabemos que
\int\frac{1}{1+t^{2}}\,dt = \arctan(t),
então
\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt = \bigl[\arctan(t)\bigr]_{-1}^{1} = \arctan(1)-\arctan(-1) = \frac{\pi}{4}-\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Juntando as duas componentes, a integral do campo é
0\,\vec i + \frac{\pi}{2}\,\vec j.

Resposta

\boxed{0\,\vec i + \frac{\pi}{2}\,\vec j}.

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