Exemplo 5
Resolva o problema de valor inicial
\left\{\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =\frac{x^{2}}{1-y^{2}} \\\ y(1) & =2 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{1 - y^2},\\\ y(1)=2. \end{cases}
Esse é um ODE separável, ou seja, podemos colocar todos os termos em y de um lado e os termos em x do outro para integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por (1 - y^2)\,dx:
(1 - y^2)\,dy = x^2\,dx.

Passo 3

Integre cada lado:
\int (1 - y^2)\,dy = \int x^2\,dx.
No lado esquerdo
\int (1 - y^2)\,dy = \int 1\,dy - \int y^2\,dy = y - \frac{y^3}{3},
e no lado direito
\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}.
Logo a primitiva geral é
y - \frac{y^3}{3} = \frac{x^3}{3} + C.

Passo 4

Use a condição inicial y(1)=2 para achar C. Em x=1 e y=2:
2 - \frac{2^3}{3} = \frac{1^3}{3} + C \quad\Longrightarrow\quad 2 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3} + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{6 - 8}{3} = \frac{1}{3} + C \quad\Longrightarrow\quad -\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + C
C = -\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = -1.

Passo 5

Substituindo C=-1 na solução geral, obtemos a solução implícita que satisfaz a condição inicial:
y - \frac{y^3}{3} = \frac{x^3}{3} - 1.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é dada implicitamente por
\boxed{\,y - \frac{y^3}{3} = \frac{x^3}{3} - 1\,}.

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