Exemplo 6 - (Exercício)
Resolva o PVI
\left\{\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =y^{2}-4 \\\ y(0) & =1 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} \dfrac{dy}{dx} = y^2 - 4,\\\ y(0)=1, \end{cases}
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e separável. Vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
\int \frac{dy}{y^2 - 4} \;=\;\int dx.
Para calcular o lado esquerdo, fazemos decomposição em frações parciais:
\frac{1}{y^2-4} =\frac{1}{(y-2)(y+2)} =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}\Bigr).
Assim,
\int \frac{dy}{y^2-4} =\frac{1}{4}\int\!\frac{dy}{y-2} -\frac{1}{4}\int\!\frac{dy}{y+2} =\frac{1}{4}\ln\bigl|y-2\bigr| -\frac{1}{4}\ln\bigl|y+2\bigr| =x+C.

Passo 3

Reunindo os logaritmos,
\frac{1}{4}\ln\!\Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr| =x+C \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr| =4x+C',
onde C'=4C. Exponenciando,
\frac{y-2}{y+2}=K\,e^{4x},
com K=e^{C'}.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1:
\frac{1-2}{1+2}=\frac{-1}{3}=K\,e^{0} \;\Longrightarrow\; K=-\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Substituindo K e resolvendo para y:
\frac{y-2}{y+2}=-\tfrac{1}{3}e^{4x} \;\Longrightarrow\; y-2=-\tfrac{1}{3}e^{4x}(y+2) \;\Longrightarrow\; y\Bigl(1+\tfrac{1}{3}e^{4x}\Bigr) =2-\tfrac{2}{3}e^{4x}.
Multiplicando numerador e denominador por 3, obtemos
y(x) =\frac{6-2e^{4x}}{3+e^{4x}} =\frac{2\,(3-e^{4x})}{3+e^{4x}}.

Resposta

y(x)=\frac{2\,(3-e^{4x})}{3+e^{4x}}.

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