Calcule a integral:
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+3 x-3\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+3x-3\right)\,dx.
  • Intervalo de integração: [0,2].
  • Função integranda: x^{2}+3x-3.
  • Objetivo final: obter um número real que represente a área algébrica sob a curva dessa função entre x=0 e x=2.

Passo 2

Ideia geral do método (sem começar a calcular ainda): vamos usar que a integral é linear, ou seja, a integral da soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Em linguagem matemática:
\int_{a}^{b}\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx,
\int_{a}^{b}c\cdot f(x)\,dx=c\int_{a}^{b}f(x)\,dx.
Isso nos permite separar a integral peça por peça: integrar x^{2}, integrar 3x e integrar -3 separadamente. Depois usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva (antiderivada) de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).

Passo 3

Revisão rápida das regras de integração que vamos aplicar:
  • Regra do polinômio (regra da potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração quando fazemos primitiva.
  • Regra da constante: se c é constante,
\int c\,dx = c x + C.
  • Regra do fator constante: \int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx.
Aplicando essas regras às parcelas da nossa integranda:
  • Para x^{2}: usando a regra da potência com n=2,
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+C.
  • Para 3x: tirar a constante 3 para fora e usar \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2},
\int 3x\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{3}{2}x^{2}+C.
  • Para -3: é constante, então
\int -3\,dx = -3x + C.

Passo 4

Construindo uma primitiva F(x) da função inteira somando as primitivas das parcelas (podemos juntar as constantes numa só, que não importa para a integral definida):
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{2}x^{2}-3x.
Expliquei: cada termo veio diretamente das integrais do passo anterior.

Passo 5

Avaliação pelo Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é F(2)-F(0).
Calcule F(2):
F(2)=\frac{2^{3}}{3}+\frac{3}{2}\cdot 2^{2}-3\cdot 2.
Agora as contas, passo a passo:
\frac{2^{3}}{3}=\frac{8}{3},
\frac{3}{2}\cdot 2^{2}=\frac{3}{2}\cdot 4=6,
-3\cdot 2=-6.
Somando:
F(2)=\frac{8}{3}+6-6=\frac{8}{3}.
Calcule F(0):
F(0)=\frac{0^{3}}{3}+\frac{3}{2}\cdot 0^{2}-3\cdot 0=0.
Portanto
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+3x-3\right)\,dx = F(2)-F(0)=\frac{8}{3}-0=\frac{8}{3}.

Passo 6

Resumo rápido e incentivo: fizemos a integral quebrando a função em partes, aplicando a regra da potência e a linearidade, achamos uma primitiva e usamos F(b)-F(a). Deu \dfrac{8}{3}. Tá indo bem — passo simples e direto, boa técnica para prova!

Resposta

\dfrac{8}{3}

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