Calcule a integral:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se calcular a integral definida
- Intervalo de integração:
. - Função integranda:
. - Objetivo final: obter um número real que represente a área algébrica sob a curva dessa função entre
e .
Passo 2
Ideia geral do método (sem começar a calcular ainda): vamos usar que a integral é linear, ou seja, a integral da soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Em linguagem matemática:
Isso nos permite separar a integral peça por peça: integrar
, integrar
e integrar
separadamente. Depois usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo: se
é uma primitiva (antiderivada) de
, então
Passo 3
Revisão rápida das regras de integração que vamos aplicar:
- Regra do polinômio (regra da potência): para
,
onde
é a constante de integração quando fazemos primitiva.
- Regra da constante: se
é constante,
- Regra do fator constante:
.
Aplicando essas regras às parcelas da nossa integranda:
- Para
: usando a regra da potência com ,
- Para
: tirar a constante para fora e usar ,
- Para
: é constante, então
Passo 4
Construindo uma primitiva
da função inteira somando as primitivas das parcelas (podemos juntar as constantes numa só, que não importa para a integral definida):
Expliquei: cada termo veio diretamente das integrais do passo anterior.
Passo 5
Avaliação pelo Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
.
Calcule
:
Agora as contas, passo a passo:
Somando:
Calcule
:
Portanto
Passo 6
Resumo rápido e incentivo: fizemos a integral quebrando a função em partes, aplicando a regra da potência e a linearidade, achamos uma primitiva e usamos
. Deu
. Tá indo bem — passo simples e direto, boa técnica para prova!