Calcule a integral:
\int_{1}^{3}\left(2 x^{2}-x+4\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{3}\bigl(2x^{2}-x+4\bigr)\,dx
que é um polinômio simples. Para resolver, vamos usar a regra de integrar termo a termo, isto é, encontrar uma primitiva F(x) de 2x^{2}-x+4 e depois avaliar F(3)-F(1).

Passo 2

Vamos achar a primitiva F(x) de f(x)=2x^{2}-x+4. Integrando termo a termo:
\int 2x^{2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3},\quad \int (-x)\,dx = -\frac{1}{2}x^{2},\quad \int 4\,dx = 4x.
Logo, uma primitiva é
F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} + 4x.

Passo 3

Agora avaliamos F(x) nos limites x=3 e x=1.
Para x=3:
F(3) = \frac{2}{3}\cdot 3^{3} \;-\;\frac{1}{2}\cdot 3^{2} \;+\;4\cdot 3 = \frac{2}{3}\cdot 27 \;-\;\frac{1}{2}\cdot 9 \;+\;12 = 18 - 4{,}5 +12 = 25{,}5.
Para x=1:
F(1) = \frac{2}{3}\cdot 1^{3} \;-\;\frac{1}{2}\cdot 1^{2} \;+\;4\cdot 1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 4 = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} + 4 = \frac{1}{6} + 4 = \frac{25}{6}.

Passo 4

Subtraindo F(3)-F(1):
25{,}5 \;-\;\frac{25}{6} = \frac{51}{2} - \frac{25}{6} = \frac{153 - 25}{6} = \frac{128}{6} = \frac{64}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{64}{3}

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