CALCULE A INTEGRAL
\int_{0}^{1}\left[5 e^{-4 x}\right] d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\left[5 e^{-4 x}\right] d x.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são 0 e 1.
  • A função a integrar é 5 e^{-4x}.
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Usar a linearidade da integral para simplificar: uma constante pode ser tirada para fora da integral. Isso vem da propriedade
\int_a^b c\,f(x)\,dx = c\int_a^b f(x)\,dx
para qualquer constante c. Aplicando com c=5 obtemos
\int_{0}^{1}5 e^{-4x}\,dx = 5\int_{0}^{1} e^{-4x}\,dx.

Passo 3

Precisamos de uma antiderivada (primitiva) de e^{-4x}. Lembrete rápido: a derivada de e^{k x} é k e^{k x}. Portanto, ao integrar, tem-se
\int e^{k x}\,dx = \frac{1}{k}e^{k x} + C,
porque derivando \dfrac{1}{k}e^{k x} volta e^{k x}. Aqui k=-4, então
\int e^{-4x}\,dx = \frac{1}{-4} e^{-4x} + C = -\frac{1}{4}e^{-4x} + C.

Passo 4

Multiplicando pela constante 5 (que estava fora da integral), obtemos a antiderivada da função original:
F(x) = 5\left(-\frac{1}{4}e^{-4x}\right) = -\frac{5}{4}e^{-4x}.
Esse F(x) é uma primitiva de 5e^{-4x}.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(1)-F(0). Calculamos:
F(1) = -\frac{5}{4}e^{-4\cdot 1} = -\frac{5}{4}e^{-4},
F(0) = -\frac{5}{4}e^{-4\cdot 0} = -\frac{5}{4}e^{0} = -\frac{5}{4}.
Portanto
\int_{0}^{1}5 e^{-4x}\,dx = F(1)-F(0) = -\frac{5}{4}e^{-4} - \left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{5}{4}\left(1 - e^{-4}\right).

Passo 6

Uma aproximação numérica (opcional, só para intuir o valor): e^{-4}\approx 0,018315, logo
\frac{5}{4}\left(1 - e^{-4}\right)\approx \frac{5}{4}\times 0,981685 \approx 1,227106.

Resposta

\dfrac{5}{4}\left(1-e^{-4}\right)

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