DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede duas coisas: (i) determinar uma primitiva usando mudança de variável; (ii) verificar a primitiva obtida derivando-a. Informação útil: a expressão dentro da raiz é um polinômio quadrático em
. A solução começa por reescrever esse quadrático de forma conveniente.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz completando o quadrado — isso é uma técnica para transformar um quadrado perfeito mais uma constante, facilitando a substituição.
Começamos com
Começamos com
Agora completamos o quadrado do polinômio
. Note que
Portanto
Explicação didática do passo: completar o quadrado consiste em escrever
como
, e ajustar a constante para recuperar o termo original. O objetivo foi obter a forma
, porque isso combina com a primitiva conhecida de
.
Passo 3
Agora fazemos a mudança de variável natural sugerida pela forma obtida. Defina
Então
Substituindo na integral, usando que da Passo 2
, obtemos
Breve aula: a integral
é uma primitiva padrão — é a função
(ou
), porque a derivada de
é
. Uma maneira rápida de lembrar/derivar isso é considerar
, então
e
; como
, segue que
, logo
.
Passo 4
Integrando, usando a primitiva padrão:
Voltando à variável
(lembre que
):
Observação sobre domínio: a transformação foi feita assumindo
, isto é,
, que corresponde a
; nesse intervalo a raiz está bem definida (positiva) e a identidade é válida. Fora desse intervalo a expressão sob a raiz fica não positiva e a integral real não está definida da mesma maneira.
Passo 5
Verificação derivando a primitiva encontrada. Seja
Aplicando a regra da cadeia para derivar:
Como
, obtemos
Usando a igualdade da Passo 2 (
), concluímos
que é exatamente o integrando original. Assim a primitiva foi verificada.