DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
\int\left[\frac{6}{\sqrt{-3-4 x-x^{2}}}\right] d x

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int\left[\frac{6}{\sqrt{-3-4 x-x^{2}}}\right] d x
e pede duas coisas: (i) determinar uma primitiva usando mudança de variável; (ii) verificar a primitiva obtida derivando-a. Informação útil: a expressão dentro da raiz é um polinômio quadrático em x. A solução começa por reescrever esse quadrático de forma conveniente.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz completando o quadrado — isso é uma técnica para transformar um quadrado perfeito mais uma constante, facilitando a substituição.
Começamos com
-3-4x-x^{2} = -(x^{2}+4x+3).
Agora completamos o quadrado do polinômio x^{2}+4x+3. Note que
x^{2}+4x+3 = (x^{2}+4x+4)-1 = (x+2)^{2}-1.
Portanto
-3-4x-x^{2} = -\big((x+2)^{2}-1\big) = 1-(x+2)^{2}.
Explicação didática do passo: completar o quadrado consiste em escrever x^{2}+4x como (x+2)^{2}-4, e ajustar a constante para recuperar o termo original. O objetivo foi obter a forma 1-(\text{algo})^{2}, porque isso combina com a primitiva conhecida de 1/\sqrt{1-u^{2}}.

Passo 3

Agora fazemos a mudança de variável natural sugerida pela forma obtida. Defina
u = x+2.
Então
du = dx.
Substituindo na integral, usando que da Passo 2 -3-4x-x^{2}=1-u^{2}, obtemos
\int\frac{6}{\sqrt{-3-4x-x^{2}}}\,dx = \int\frac{6}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du = 6\int\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du.
Breve aula: a integral \displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du é uma primitiva padrão — é a função \arcsin(u) (ou \sin^{-1}u), porque a derivada de \arcsin(u) é 1/\sqrt{1-u^{2}}. Uma maneira rápida de lembrar/derivar isso é considerar y=\arcsin(u), então u=\sin y e du=\cos y\,dy; como \cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-u^{2}}, segue que dy=du/\sqrt{1-u^{2}}, logo y=\int du/\sqrt{1-u^{2}}.

Passo 4

Integrando, usando a primitiva padrão:
6\int\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du = 6\arcsin(u)+C.
Voltando à variável x (lembre que u=x+2):
6\arcsin(u)+C = 6\arcsin(x+2)+C.
Observação sobre domínio: a transformação foi feita assumindo |u|<1, isto é, -1<u<1, que corresponde a -3<x<-1; nesse intervalo a raiz está bem definida (positiva) e a identidade é válida. Fora desse intervalo a expressão sob a raiz fica não positiva e a integral real não está definida da mesma maneira.

Passo 5

Verificação derivando a primitiva encontrada. Seja
F(x)=6\arcsin(x+2)+C.
Aplicando a regra da cadeia para derivar:
F'(x)=6\cdot\frac{1}{\sqrt{1-(x+2)^{2}}}\cdot\frac{d}{dx}(x+2).
Como \dfrac{d}{dx}(x+2)=1, obtemos
F'(x)=\frac{6}{\sqrt{1-(x+2)^{2}}}.
Usando a igualdade da Passo 2 ( 1-(x+2)^{2}=-3-4x-x^{2}), concluímos
F'(x)=\frac{6}{\sqrt{-3-4x-x^{2}}},
que é exatamente o integrando original. Assim a primitiva foi verificada.

Resposta

6\arcsin(x+2)+C

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