DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma primitiva por mudança de variável e verificar derivando a função integranda
Informações dadas:
- A integranda é
. - Deve-se usar mudança de variável (substituição) para encontrar a primitiva.
- Depois é preciso verificar a primitiva calculando a derivada e conferindo que volta à integranda.
Passo 2
Ideia da mudança de variável (explicação didática): quando a integral contém uma função composta
e aparece um fator proporcional a
, a substituição
costuma simplificar, porque
troca as variáveis e transforma a integral numa forma mais simples. Aqui as funções trigonométricas dependem de
e o fator
aparece multiplicando. Isso sugere escolher
Calcule
: derivando ambos os lados em relação a
,
Passo 3
Fazer a substituição na integral. Reescrevendo a integranda em termos de
:
Usando
, a integral passa a ser
Passo 4
Saber integrar
(mini-aula):
- Lembrar que
e . - A derivada de
é
Portanto temos a identidade útil para integrar:
porque a derivada de
é exatamente
.
Passo 5
Aplicar o resultado ao caso:
Voltar à variável
usando
:
Passo 6
Verificação derivando (passo a passo usando regra da cadeia):
Calcule a derivada da primitiva proposta:
Calcule a derivada da primitiva proposta:
Usando a regra da cadeia e a derivada de
vista antes:
Substituindo:
Isso coincide exatamente com a integranda original, portanto a primitiva está correta.