DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
\int 5 x \operatorname{cossec}\left(x^{2}\right) \operatorname{cotg}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma primitiva por mudança de variável e verificar derivando a função integranda
\int 5x\,\operatorname{cossec}\!\left(x^{2}\right)\operatorname{cotg}\!\left(x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é 5x\,\operatorname{cossec}\!\left(x^{2}\right)\operatorname{cotg}\!\left(x^{2}\right).
  • Deve-se usar mudança de variável (substituição) para encontrar a primitiva.
  • Depois é preciso verificar a primitiva calculando a derivada e conferindo que volta à integranda.

Passo 2

Ideia da mudança de variável (explicação didática): quando a integral contém uma função composta \,f(g(x)) e aparece um fator proporcional a g'(x), a substituição u=g(x) costuma simplificar, porque du=g'(x)\,dx troca as variáveis e transforma a integral numa forma mais simples. Aqui as funções trigonométricas dependem de x^{2} e o fator x aparece multiplicando. Isso sugere escolher
u = x^{2}.
Calcule du: derivando ambos os lados em relação a x,
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Fazer a substituição na integral. Reescrevendo a integranda em termos de u:
5x\,\operatorname{cossec}\!\left(x^{2}\right)\operatorname{cotg}\!\left(x^{2}\right)\,dx = 5\,\operatorname{cossec}\!(u)\operatorname{cotg}\!(u)\cdot x\,dx.
Usando x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du, a integral passa a ser
\int 5x\,\operatorname{cossec}\!\left(x^{2}\right)\operatorname{cotg}\!\left(x^{2}\right)\,dx = \int 5\,\operatorname{cossec}\!(u)\operatorname{cotg}\!(u)\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{5}{2}\int \operatorname{cossec}\!(u)\operatorname{cotg}\!(u)\,du.

Passo 4

Saber integrar \operatorname{cossec}(u)\operatorname{cotg}(u) (mini-aula):
  • Lembrar que \operatorname{cossec}(u)=\dfrac{1}{\sin u} e \operatorname{cotg}(u)=\dfrac{\cos u}{\sin u}.
  • A derivada de \operatorname{cossec}(u) é
\frac{d}{du}\big(\operatorname{cossec}(u)\big) = \frac{d}{du}\!\left(\frac{1}{\sin u}\right) = -\frac{\cos u}{\sin^{2}u} = -\operatorname{cossec}(u)\operatorname{cotg}(u).
Portanto temos a identidade útil para integrar:
\int \operatorname{cossec}(u)\operatorname{cotg}(u)\,du = -\operatorname{cossec}(u) + C,
porque a derivada de -\operatorname{cossec}(u) é exatamente \operatorname{cossec}(u)\operatorname{cotg}(u).

Passo 5

Aplicar o resultado ao caso:
\frac{5}{2}\int \operatorname{cossec}(u)\operatorname{cotg}(u)\,du = \frac{5}{2}\big(-\operatorname{cossec}(u)\big) + C = -\frac{5}{2}\operatorname{cossec}(u) + C.
Voltar à variável x usando u=x^{2}:
\text{primitiva} = -\frac{5}{2}\operatorname{cossec}\!\left(x^{2}\right) + C.

Passo 6

Verificação derivando (passo a passo usando regra da cadeia):
Calcule a derivada da primitiva proposta:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{5}{2}\operatorname{cossec}\!\left(x^{2}\right)\right) = -\frac{5}{2}\cdot \frac{d}{dx}\!\big(\operatorname{cossec}(x^{2})\big).
Usando a regra da cadeia e a derivada de \operatorname{cossec} vista antes:
\frac{d}{dx}\!\big(\operatorname{cossec}(x^{2})\big) = -\operatorname{cossec}(x^{2})\operatorname{cotg}(x^{2})\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) = -\operatorname{cossec}(x^{2})\operatorname{cotg}(x^{2})\cdot 2x.
Substituindo:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{5}{2}\operatorname{cossec}\!\left(x^{2}\right)\right) = -\frac{5}{2}\cdot\big(-2x\,\operatorname{cossec}(x^{2})\operatorname{cotg}(x^{2})\big) = 5x\,\operatorname{cossec}(x^{2})\operatorname{cotg}(x^{2}).
Isso coincide exatamente com a integranda original, portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{5}{2}\operatorname{cossec}\!\left(x^{2}\right)+C

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