CALCULE A INTEGRAL
\int_{1}^{2}\left[\frac{2}{5} x^{-2}+x^{-\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\right] d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida no intervalo [1,2]:
\int_{1}^{2}\left[\frac{2}{5}x^{-2}+x^{-\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\right]dx.
Informações dadas:
  • Limites de integração: a=1 e b=2.
  • Integrando composto por três parcelas: \dfrac{2}{5}x^{-2}, x^{-1/5} e \dfrac{1}{2}.
    A tarefa é encontrar o valor exato dessa integral.

Passo 2

Regra básica que vamos usar (regra da potência para primitivas):
  • Para todo n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Explicando: a fórmula diz que para integrar uma potência x^{n} aumenta-se o expoente em 1 (ficando n+1) e divide-se pelo novo expoente n+1. Atenção: se n=-1 a fórmula não vale (o caso x^{-1} leva a \ln|x|), mas aqui não temos x^{-1} isolado.
Também usaremos que a integral de uma constante k é
\int k\,dx = kx + C.
Exemplo simples para fixar: \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C.

Passo 3

Vamos integrar cada parcela separadamente, aplicando a regra da potência e a regra da constante multiplicativa.
  1. Para \dfrac{2}{5}x^{-2}:
\int \frac{2}{5}x^{-2}\,dx=\frac{2}{5}\int x^{-2}\,dx =\frac{2}{5}\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{2}{5}x^{-1}.
Aqui usei n=-2, então n+1=-1, e por isso aparece x^{-1} dividido por -1.
  1. Para x^{-1/5}:
\int x^{-\frac{1}{5}}\,dx=\frac{x^{-\frac{1}{5}+1}}{-\frac{1}{5}+1} =\frac{x^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}} =\frac{5}{4}x^{\frac{4}{5}}.
Aqui n=-\tfrac{1}{5}, então n+1=\tfrac{4}{5} e dividimos por \tfrac{4}{5}, o que é multiplicar por \tfrac{5}{4}.
  1. Para \dfrac{1}{2}:
\int \frac{1}{2}\,dx=\frac{1}{2}x.

Passo 4

Primitiva (antiderivada) conjunta:
F(x)=-\frac{2}{5}x^{-1}+\frac{5}{4}x^{\frac{4}{5}}+\frac{1}{2}x.
A integral definida é F(2)-F(1). Vamos calcular termo a termo.
Calcular F(2):
F(2)=-\frac{2}{5}\cdot 2^{-1}+\frac{5}{4}\cdot 2^{\frac{4}{5}}+\frac{1}{2}\cdot 2 = -\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}+\frac{5}{4}2^{\frac{4}{5}}+1 = -\frac{1}{5}+\frac{5}{4}2^{\frac{4}{5}}+1.
Calcular F(1):
F(1)=-\frac{2}{5}\cdot 1^{-1}+\frac{5}{4}\cdot 1^{\frac{4}{5}}+\frac{1}{2}\cdot 1 = -\frac{2}{5}+\frac{5}{4}+\frac{1}{2}.
Somando as duas últimas frações: \dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{4}+\dfrac{2}{4}=\dfrac{7}{4}.
Logo
F(1)=-\frac{2}{5}+\frac{7}{4}.

Passo 5

Agora F(2)-F(1):
\begin{aligned} \int_{1}^{2}\left[\frac{2}{5}x^{-2}+x^{-\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\right]dx &= \Big(-\frac{1}{5}+\frac{5}{4}2^{\frac{4}{5}}+1\Big) - \Big(-\frac{2}{5}+\frac{7}{4}\Big)\\[6pt] &= \Big(-\frac{1}{5}+1+\frac{2}{5}\Big) + \Big(\frac{5}{4}2^{\frac{4}{5}}-\frac{7}{4}\Big)\\[6pt] &= \frac{6}{5} + \frac{1}{4}\big(5\cdot 2^{\frac{4}{5}}-7\big). \end{aligned}
Vamos juntar em único quociente com denominador 20. Primeiro escrevemos \dfrac{6}{5}=\dfrac{24}{20} e \dfrac{1}{4}(5\cdot 2^{\frac{4}{5}}-7)=\dfrac{5\cdot 2^{\frac{4}{5}}-7}{4}=\dfrac{5\big(5\cdot 2^{\frac{4}{5}}-7\big)}{20} se multiplicarmos numerador e denominador por 5 — mais direto é transformar \dfrac{5\cdot 2^{\frac{4}{5}}-7}{4} em denom 20 multiplicando por 5/5:
\frac{6}{5}+\frac{5\cdot 2^{\frac{4}{5}}-7}{4} =\frac{24}{20}+\frac{25\cdot 2^{\frac{4}{5}}-35}{20} =\frac{25\cdot 2^{\frac{4}{5}}-11}{20}.
Portanto o valor exato da integral é
\frac{25\cdot 2^{\frac{4}{5}}-11}{20}.
Como controle rápido: uma aproximação numérica (não necessária na prova) dá 2^{\frac{4}{5}}\approx1{,}7411, então o resultado aproximado é \approx1{,}6264, conferindo que o valor exato acima é coerente.]

Resposta

\dfrac{25\cdot 2^{\frac{4}{5}}-11}{20}

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