CALCULE A INTEGRAL
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral definida no intervalo
:
Informações dadas:
- Limites de integração:
e . - Integrando composto por três parcelas:
, e .
A tarefa é encontrar o valor exato dessa integral.
Passo 2
Regra básica que vamos usar (regra da potência para primitivas):
- Para todo
,
onde
é a constante de integração. Explicando: a fórmula diz que para integrar uma potência
aumenta-se o expoente em
(ficando
) e divide-se pelo novo expoente
. Atenção: se
a fórmula não vale (o caso
leva a
), mas aqui não temos
isolado.
Também usaremos que a integral de uma constante é
Também usaremos que a integral de uma constante
Exemplo simples para fixar:
.
Passo 3
Vamos integrar cada parcela separadamente, aplicando a regra da potência e a regra da constante multiplicativa.
- Para
:
Aqui usei
, então
, e por isso aparece
dividido por
.
- Para
:
Aqui
, então
e dividimos por
, o que é multiplicar por
.
- Para
:
Passo 4
Primitiva (antiderivada) conjunta:
A integral definida é
. Vamos calcular termo a termo.
Calcular
:
Calcular
:
Somando as duas últimas frações:
.
Logo
Logo
Passo 5
Agora
:
Vamos juntar em único quociente com denominador
. Primeiro escrevemos
e
se multiplicarmos numerador e denominador por
— mais direto é transformar
em denom
multiplicando por
:
Portanto o valor exato da integral é
Como controle rápido: uma aproximação numérica (não necessária na prova) dá
, então o resultado aproximado é
, conferindo que o valor exato acima é coerente.]