Calcule a integral
\int_{-1}^{2} f(x) d x\), onde \(f(x)= \begin{cases}2 & \text { se }-2 \leqslant x \leqslant 0 \\\\ 4-x^{2} & \text { se } 0<x \leqslant 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{2}f(x)\,dx
onde
f(x)= \begin{cases} 2, & -2\le x\le0,\\\\ 4 - x^2, & 0<x\le2. \end{cases}
Como f é definida por partes, vamos dividir a integral nos subintervalos em que f muda de expressão: [-1,0] e [0,2].

Passo 2

Calculamos
\int_{-1}^{0}2\,dx.
Como a função é constante igual a 2,
\int_{-1}^{0}2\,dx =2\bigl[x\bigr]_{-1}^{0} =2\bigl(0 -(-1)\bigr) =2.

Passo 3

Agora calculamos
\int_{0}^{2}(4 - x^2)\,dx.
Usando antiderivada de 4 - x^2:
\int(4 - x^2)\,dx =4x - \frac{x^3}{3},
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\int_{0}^{2}(4 - x^2)\,dx =\Bigl[4x - \frac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{2} =\Bigl(8 - \frac{8}{3}\Bigr)-0 =\frac{24-8}{3} =\frac{16}{3}.

Passo 4

Somando as duas partes,
\int_{-1}^{2}f(x)\,dx =\int_{-1}^{0}2\,dx +\int_{0}^{2}(4 - x^2)\,dx =2 + \frac{16}{3} =\frac{6+16}{3} =\frac{22}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{22}{3}

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